2018 Fiscal Year Annual Research Report
代数多様体の連接層の導来圏の生成系および次元に関する研究
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17J00857
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
原 和平 早稲田大学, 基幹理工学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 非可換クレパント解消 / 導来圏 / フロップ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き，非可換クレパント特異点解消の観点からフロップの幾何学と導来圏の研究を行った．今年度は，昨年度に行ったAbuafの5次元フロップの別バージョンである7次元フロップの研究を行った．Abuafの5次元フロップはC_2型の表現論から決まり，今回扱った7次元フロップはG_2型の表現論から決まっている．このフロップに対する導来同値は植田氏によって証明されているが，導来同値を傾斜ベクトル束と非可換クレパント特異点解消を用いる方法で作ることができるかは分かっていなかった．この7次元フロップは高次元フロップの例として興味深いだけではなく，伊藤-植田-大川-三浦による，双有理同値ではないが導来圏は同値になるような3次元カラビ-ヤウ多様体と関連するという意味でも重要な例になっている．
今年度は，この7次元フッロプの両サイドに傾斜ベクトルを構成し，それを用いて導来同値を再証明した．傾斜ベクトル束の存在は自明ではなく，Borel-Bott-Weilによるコホモロジーの計算を参考に候補を発見し，実際に傾斜ベクトル束の定義を満たすことを確認するためにはフロップの幾何学を用いたスペクトル系列の計算を行う必要があった．
今回扱った7次元フロップはG_2型等質多様体（片側は5次元2次超曲面）上の階数2の等質ベクトル束の全空間の間に定まるフロップであったが，こういった状況で底空間のベクトル束の引き戻しではない傾斜ベクトル束が導来同値を与える例は新しいと思う．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
傾斜ベクトル束の存在を新たに証明し，単純K同値の研究を進めることができた．他方で，非単純な例に関しての研究はさほど進展しなかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
最近金光氏により単純K同値の例がいくつか新たに与えられた．次年度以降は単純K同値に対する導来圏の研究を継続し，金光氏による例を考えていきたい．まず，G_2^+型と呼ばれる8次元フロップの研究から着手する．この8次元フロップは5次元2次超曲面上のベクトル束の間に定まるフロップであるが，ベクトル束はB_3の意味でもG_2の意味でも等質ではなく，コホモロジーの計算を工夫する必要がある．
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