2018 Fiscal Year Annual Research Report
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17J02456
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
坂本 龍太郎 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | 岩澤理論 / 高階Euler系 / 高階Kolyvagin系 / 高階Stark系 / Selmer群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度に構成した高階Euler，Kolyvagin，Stark系の一般論を用いて，その数論への応用について研究した．具体的な内容は以下の２つである．
(1) 高階Kolyvagin系と高階Stark系はGorenstein環係数の代数体のGalois表現とSelmer構造に対して定まるものである．前年度までの研究により，Selmer構造が核頂点を持つという仮定のもとで，高階Stark系のなす加群から高階Kolyvagin系のなす加群への自然な同型写像が存在することを証明した．係数環が完備離散付値環の場合，MazurとRubinによりSelmer構造が核頂点を持つための簡単な十分条件が求められていた．しかし，係数環が一般のGorenstein環の場合，そのような条件は知られていなかった．今年度は，係数環が完備離散付値環上の群環の場合に，canonical Selmer構造とunramified Selmer構造に対して，核頂点を持つための必要十分条件を求めた．応用として，加藤のEuler系を用いて，有理数体上の楕円曲線に対して，そのアーベル体上のSelmer群のGalois加群として構造を記述した．
(2) 前年度までの研究により，高階Euler系からcanonical Selmer構造に付随する高階Kolyvagin系が構成できることは証明されていたが，さらにRubin-Stark元からunramified Selmer構造に付随する高階Kolyvagin系が構成できることを証明した．応用として，Rubin-Stark予想のもとで，Mazur-Rubin-Sano予想の一部を解決した．また，Rubin-Stark元を用いてイデアル類群のGalois加群としての構造を記述することが出来た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成30年度の研究計画にあった高階Euler系・高階Stark系とp進L関数との関係の記述に関してはあまり進展がなかったが，もう一方のStark系の新たな可能性の追求に関しては進展があった．前年度に今後の研究の推進方策として挙げていた，完備Gorenstein環の場合にSelmer構造がcartesinan条件を満たすためのの十分条件を探すという問題を解決することができた．その応用として，目標の１つであったDarmon予想の一般化であるMazur-Rubin-Sano予想をいくつかの場合に解決することができた．これは当初の計画通りの進展である．
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| Strategy for Future Research Activity |
高階Euler系・高階Stark系とp進L関数との関係のを理解することが目標である．そのために，まず，具体的な場合の考察から始めることにする．Coleman写像を用いて，Deligen-Ribetのp進L関数とRubin-Stark元の関係について考察することにする．次に，前年度に得られた高階Euler系の理論を用いてBurns-佐野-栗原による高階岩澤主予想への応用を目指す．その後，一般のモチーフに対するさらなる一般化などについて研究を進めていく．
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