2017 Fiscal Year Annual Research Report
くりこみ不動点の安定性解析による力学系の相転移の研究
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17J03495
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
篠田 万穂 慶應義塾大学, 理工学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2020-03-31
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| Keywords | エルゴード最適化 / 零温度極限問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は当初の計画とは異なり、くりこみ作用素の解析は進展しなかった。一方で、温度零の極限で現れる最大化測度や準周期的な力学系についての研究が進み、理解を深めることができた。くりこみ作用素の線形性については容易に確かめることができた。一方、その不動点における双曲性や摂動に関する研究を進めることは予想以上に困難であった。本研究のテーマである力学系における相転移は、逆温度でパラメータ化されたポテンシャルの平衡測度に対してある臨界温度以下で平衡測度が複数存在することを指す。温度零の極限では、ポテンシャルの期待値を最大化する最大化測度が現れる。専門家の間では、多くのポテンシャルに対して最大化測度は一意に存在し、その測度のサポートでは周期的な秩序立ったダイナミクスが現れるという考えが広く受け入れられている。そこで、くりこみ作用素の解析を進める為にも、その温度零の極限で現れる最大化測度を調べることが重要であると考え、今年度はそれらに取り組んだ。
最大化測度に関しては、最大化測度が一意であり、そのエントロピーが零であるポテンシャルが多く存在するという、広く受け入れられている考えを検証する方向の研究が多くある。一方私は、エルゴード測度が十分多く存在する力学系において、非可算無限個の最大化測度を持つポテンシャルが稠密に存在することを証明した。さらに位相混合的な記号力学系という特別な場合には、エントロピー正の最大化測度が非可算無限個存在することも証明できた。これらの結果を論文にまとめ、論文はNonlinearity に受理された。さらに、高橋博樹氏と共同でそれらの区間上の拡大的なMarkov 写像のLyapunov 最大化測度に応用した。それをまとめた論文は Ergodic Theory and Dynamical Systems に投稿し、掲載に値するという好意的な査読結果を得ている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の研究計画であるくりこみ作用素および力学系の相転移について、その双曲性や安定性に関して具体的な進展はみられなかった。一方で、相転移と密接な関係がある最大化測度の存在に関する研究で、二つの査読つき国際誌への論文掲載がほぼ決定した。最大化測度に関する成果は、多くの専門家が注目してこなかった現象に焦点を当てた新しい視点の結果を導いたという点で、学術的な価値が高いと思われる。具体的には、最大化測度の一意性に関する研究が有力な中で、「非可算無限個の最大化測度の存在」というそれと対極にある現象が、比較的多くの関数に対して成り立つということを証明した。最大化測度は力学系の相転移を考える上で重要な対象であり、計画時には予期していなかった方向での成果ではあるが、総合的には期待以上の進展があったと判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
前年度の研究を踏まえ、今年度の前半は引き続き零温度極限及び最大化測度の解析を進める。特に、くりこみ作用素に用いられる置換規則力学系、及びそれと関係の深いタイリング力学系を扱う技術を身につける。４月から6月にかけて統計物理的な視点による力学系の研究の専門家であるJean-Rene Chazottes 氏を訪問し、零温度極限に関する共同研究を行う。同氏は記号力学系における平衡状態の零温度極限に関する重要な 仕事をしており、特別研究員が昨年参加したカナダの研究集会では、力学系の相転移についての講演を行な っている。そして置換規則力学系と零温度極限に関する研究に基づき、くりこみ作用素の摂動方法を探索する。
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