2017 Fiscal Year Annual Research Report
Mathematical analysis for phenomenon of crystal surface evolution
Project/Area Number |
17J05160
|
Research Institution | The University of Tokyo |
Principal Investigator |
張 龍傑 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
|
Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2019-03-31
|
Keywords | 平均曲率流方程式 / 初期曲面が特異性を持つ / 交点個数原理 / Angenent doughnuts / 肥満化と非肥満化 / 超曲面の平均曲率流方程式 |
Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は結晶表面の成長現象の数学解析であります.結晶方程式の中に最も大事なのは駆動力付きの平均曲率流方程式です.平均曲率流方程式とは,曲面の成長速度が,平均曲率と曲面の法ベクトルによって局所的に決まる方程式であります.初期曲面は滑らかな曲面を持つ平均曲率流の解の存在性と一意性古典的な放物型方程式理論で明らかとなりましたが,初期曲面は滑らかではないで,つまり初期曲面が特異性を持つ平均曲率流方程式の研究の結果があまり多くではありません.この問題を解決するため,Chen,Giga,gotoが粘性解を用いて、平均曲率流の等高面方法を発展しました.しかしながら、等高面方法の発展に伴って,肥満化という現象があります.肥満化現象簡単に言うと,初期曲面は滑らかではない問題の解の一意性を失うと理解できます.本研究には等高面方法で,初期曲面が特異性を持つ駆動力付きの平均曲率流方程式を研究する時,肥満かどうかを判明したいと思います. 上記の問題を解決するため,交点個数原理とAngenent doughnutsが大事です.この二つの問題に関して、ウィスコンシン大学のAngennet教授が沢山な結果を証明しました.去年科研費を使って,Angennet教授が務めているウィスコンシン大学に訪問しました.有益な意見を沢山いただいたのお陰で,良い研究が沢山出てきました. 平面上特異性を持つ曲線の肥満化と非肥満化の条件与えられました.肥満化が発生しないとき,曲線の動きの分類と漸近挙動もきちんと判明しました.平面上の曲線だけではありません,高次元の超曲面の平均曲率流方程式の肥満化条件も得られました.上記の研究をまとめて,次の論文になります. 1. Longjie, ZHANG, On Curvature Flow with Driving Force Starting as Singular Initial Curve in the Plane, J Geom Anal (2017). https://doi.org/10.1007/s12220-017-9937-6.
|
Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
駆動力付きの平均曲率流方程式を研究するため,交点個数原理とAngenent doughnutsが大事です.この二つの問題に関して、ウィスコンシン大学のAngennet教授が沢山な結果を証明しました.去年科研費を使って,Angennet教授が務めているウィスコンシン大学に訪問しました.有益な意見を沢山いただいたのお陰で,良い研究が沢山出てきました.平面上特異性を持つ曲線の肥満化と非肥満化の条件与えられました.肥満化が発生しないとき,曲線の動きの分類と漸近挙動もきちんと判明しました.平面上の曲線だけではありません,高次元の超曲面の平均曲率流方程式の肥満化条件も得られました.上記の研究をまとめて,論文二つをまとめました. 1. Longjie, ZHANG, On Curvature Flow with Driving Force Starting as Singular Initial Curve in the Plane, J Geom Anal (2017). https://doi.org/10.1007/s12220-017-9937-6. 2. Ryunosuke Mori; Longjie Zhang, On mean curvature flow with driving force starting as singular initial hypersurface, arXiv:1703.10707.
|
Strategy for Future Research Activity |
駆動力付きの平均曲率流方程式について,研究はまだ少ないから,そのまま研究続きたいと思います.研究目的に述べたように,私の研究は初期曲面が特異性を持つの平均曲率流方程式であります.最近、マサチューセッツ工科大学のClodingとMinicozzi教授が良い結果が出ました.去年二ヶ月間マサチューセッツ工科大学のMinicozzi教授を訪問し、特異曲面を初期値としての平均曲率流方程式の新しい研究方法に関して討議を行いました.この最新方法を用いて,自分の研究に活用できるかどうかを考えたいと思います. なお、等高面方程式に関して、粘性解が大事な方法であります。去年ウィスコンシン大学を訪問する際に,ウィスコンシン大学のTran先生から,駆動力付きの等高面方程式の障害物問題を聞きました.等高面方程式の障害物問題が粘性解において新たな研究であります.障害物問題解の時間大域存在性,と漸近挙動を解明したいと思います.
|
Research Products
(4 results)