2017 Fiscal Year Annual Research Report
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17J07495
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Research Institution | Kyoto University |
Principal Investigator |
元良 直輝 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)
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Project Period (FY) |
2017-04-26 – 2019-03-31
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Keywords | W代数 / 頂点代数 / べき零軌道 / スクリーニング作用素 / 脇本表現 |
Outline of Annual Research Achievements |
affine Lie代数の脇本表現と呼ばれるaffine頂点代数の自由場表示からDrinfeld-Sokolov還元によって誘導される、一般のW代数の自由場表示を解析した。特にaffine頂点代数のスクリーニング作用素から誘導されるW代数のスクリーニング作用素によって、どのように表現されるのかを精密に解析した。具体的には、affine頂点代数はHeisenberg頂点代数とベータガンマシステムの複数のペアのテンソル積の中に埋め込まれるが、genericなレベルではスクリーニング作用素の共通核として実現される。この実現がW代数の場合でも同様に成り立つことを証明し、誘導されるスクリーニング作用素の明示公式を計算した。 また、以前にW代数を定義するコホモロジーの分解によって得ていたスクリーニング作用素と比較して、基本的に一致していることを示し、三浦写像と呼ばれるW代数の構造解析において重要な写像とスクリーニング作用素との関係を明らかにした。 さらに、こうしたW代数の新しい自由場表示を用いて、parabolic inductionと呼ばれるW代数の間の単射写像が十分一般性のある設定で存在することを示した。これはLosevやPremetによる有限W代数の場合の結果のカイラル化と考えられる。これをA型のW代数に適用し、W代数のある種のcoproductと呼ぶべき構造が得られることを示した。これはZhu代数を介して、BrundanとKleshchevによるA型の有限W代数のcoproductに関する結果のカイラル化になっていることも証明した。BCD型の長方形型のべき零元に付随するW代数に対しても、同様のcoproduct構造が得られることを示した。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の研究成果によって、一般のW代数のスクリーニング作用素による明示的な記述が脇本表現と結び付けられて得られたので、W代数の構造論が大きく進展したと考えられる。特にparabolic inductionに関する成果によって、異なるW代数同士の関係性が明確になり、一般のW代数の統一的な扱いが可能になったのは顕著な成果である。 これらの成果はW代数の表現論を展開するうえで重要になるだけではなく、スクリーニング作用素による記述とあいまって、より多くの具体例を計算できるようになったという点からも今後の研究促進に繋がる成果であると考えられる。
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Strategy for Future Research Activity |
今後は、これまでの成果を用いてW代数の表現論に取り組みたいと考えている。そのための具体的方策として、スクリーニング作用素を用いた特異ベクトルの研究に着手する予定である。 また一方で、一般のW代数と脇本表現の間の関係性をスクリーニング作用素を用いて記述できたので、W代数のcoset構成と呼ばれる問題に新たに着手する予定である。この研究の結果は、W代数の表現圏とaffine Lie代数の表現圏の構造・関係性を調べる上でも重要であり、双方向への応用を狙って研究を進める予定である。
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Research Products
(8 results)