2017 Fiscal Year Research-status Report
組合せ最適化問題の条件強化と条件緩和に対するアルゴリズム設計
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17K00016
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| Research Institution | Kyushu Institute of Technology |
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Principal Investigator |
宮野 英次 九州工業大学, 大学院情報工学研究院, 教授 (10284548)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | グラフ最適化問題 / 計算困難性 / 近似アルゴリズム / 多項式時間アルゴリズム / 近似困難性 / 頂点パス被覆問題 / 最小ブロック転送問題 / 距離独立集合問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，計算困難な組合せ最適化問題を対象として，以下のような手法により適用範囲が広く，高品質なアルゴリズム設計法を構築することである．（条件緩和） 組合せ最適化問題における条件を緩和，または，条件を削除することにより，より一般的な組合せ最適化問題とそれに対するアルゴリズム設計を考え，より適用範囲の広いアルゴリズムを与える．（条件強化）組合せ最適化問題における従来の条件を強化，または，新しい条件を付加することにより，従来より高速または高品質なアルゴリズムを設計する．
今年度の主要な研究成果は以下である．
１．頂点被覆問題とは，与えられたグラフのすべての辺の２端点の少なくとも１端点を頂点被覆として選ぶとき，できるだけ小さな頂点被覆集合を求める最適化問題である．すなわち，すべての長さ１の道を頂点集合で被覆することを目的とする．本研究では，長さkの道を被覆するようなできるだけ少ない頂点集合となるものを求める問題を考えた．すなわち，これまで長さ１の道のみを考えていたが，本研究では，長さのkの道を被覆することを目的とする．特に，今年度は，与えられた頂点数で出来るだけ多くの長さkの道を被覆することを目的とした最大化問題として定式化を行った．また，条件強化として，入力グラフに制限を加えた場合について，計算複雑さの観点から検討を行った．研究成果については，国内学会，国際会議等において公表を行った．
２．ハミルトン閉路問題は，与えられた無向グラフのすべての頂点を正確に一度ずつ通ることができるような閉路を求める問題である．本研究では，頂点を正確に一度ずつ通る閉路により，頂点自身またはその隣接頂点を通るような頂点支配閉路の中で最も短いものを発見する問題の計算複雑さを示した．また，入力を制限した場合の高速アルゴリズムを示した．研究成果については，国内論文誌において公表を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度の実施計画は以下であった．(1) 現実世界に表れる最適化問題の抽出，参考研究や類似研究の調査，従来の組合せ最適化問題の定式化の調査，目的関数と制約条件の検討，アルゴリズム設計方法に関する調査．(2) 従来の組合せ最適化問題の定式化の再検討，および (1) で抽出した現実問題の定式化の検討．(3) 入力例題集合を条件強化することにより部分集合を定義し，多項式時間計算可能な入力例題部分集合と NP 困難な入力例題部分集合を分類．(4) NP 困難な部分集合に対する最適性条件緩和による近似精度保証付きの近似アルゴリズム設計．
本年度は以下について検討を行い，計算困難性の証明，近似アルゴリズムまたは最適多項式時間アルゴリズムを設計することができ，おおむね順調に進展している．
１．頂点パス被覆問題の最大化版について，条件の強いグラフを入力としてもNP困難となることを示すことができた．また，木グラフまたは木に類似したグラフまで条件強化をすると多項式時間アルゴリズムを設計できることが分かった．
２．支配集合問題については，平面に辺の交差なしで埋め込むことが可能な平面グラフ，辺をお互いに持たない２つの頂点集合に分けることができる二部グラフなどに限定しても近似精度を保証するアルゴリズムを設計することが原理的に難しいことを示した．また，辺をお互いに持たない頂点集合とすべての頂点間に辺を持つクリーク集合に分けることができるスプリットグラフに限定した場合には近似アルゴリズムが設計できることを示した．
３．メモリとディスク間のデータ転送回数の最小化をグラフ上での最適化問題として定式化したブロック転送数最小化問題については，これまで入力を木グラフとしての検討が多かったが，本研究では有向非巡回グラフまで緩和した問題について検討を行い，近似アルゴリズムを提案した．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで順調に進んできており，これまでと同様の手法と手順で研究目標の達成を目指す．従来問題の条件緩和と計算困難性・近似困難性との関係の解明については，証明方法の改良を繰り返しながら進めていくことになる．また，入力例題集合の条件強化についても，多項式時間で計算可能なグラフ部分集合とNP困難なグラフ部分集合の分類を考えながら進めていくことになる．今後も，米国における国際会議STOC，FOCS，SODA，欧州における国際会議ICALPやESA，アジア地域における国際会議ISAAC，COCOON等を中心に結果と手法の調査を行う．また，arXive.org プレプリントサーバー，CiteSeerデータベース，DBLPデータベースScienceDirect が提供するオンライン電子ジャーナルを利用する．
2年目も情報処理学会アルゴリズム研究会，電子情報通信学会コンピュテーション研究会，LAシンポジウムなどの国内各種研究会に参加することにより，本研究課題の目標を達成するための有益な情報を得る予定である．ブロック転送数最小化問題については，できるだけ早い時期にこれまでの研究成果をまとめて，国際会議での発表を実現する．また，既に研究成果を国際会議で発表している頂点パス被覆問題については，計算機科学に関する国際ジャーナル誌へ投稿し，広く研究者の目にとまるように計画している．大学院生，特に博士後期課程学生の協力を得ながら研究を推進していく．
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| Causes of Carryover |
平成29年度使用予定額の44万円程度を次年度に繰り越すことになった．当初は，文献調査に使用するためや，学会総合大会や国内研究会での研究成果の公表のためにノートPCを購入することを計画していたが，既存のものを利用したためである．理由は，平成29年度末に国際会議に参加するために使用を控えていたが，予定していた国際会議に開催国の国内情勢の問題により渡航できなくなったが，平成29年度中に購入ができなくなった．平成30年度に繰り越して，ノートPCを購入することにした．
平成30年度は，繰り越し分と含めて164万円程度の研究費の費用を予定している．その内訳は，設備備品費として25万円，消耗品費として5万円，国内旅費として32万円，外国旅費として84万円，人件費・謝金として10万円，その他として8万円である．設備備品費により平成29年度に購入を予定していたノートPCを購入予定であり，それに加えてPCサーバー，アルゴリズム論や計算量理論に関する図書を購入する．PC用の消耗品の購入も計画している．国内旅費により東北，関西，大分で開催される計算に関する研究会，学会への参加を予定している．国際会議での研究成果の公表を計画しているため外国旅費が必要となる．大学院生による研究補助，専門知識の提供のために100時間分の謝金，研究成果を国際論文誌に投稿するための論文投稿費用も必要となる．
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