2018 Fiscal Year Research-status Report
Hamiltonicity of graphs and its complexity
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17K00018
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
斎藤 明 日本大学, 文理学部, 教授 (90186924)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | ハミルトンサイクル / 2-因子 / ２部グラフ / 最小次数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成30年度は弦付きサイクルの存在条件をより綿密に調べた。平成29年度は弦が１本存在するサイクルを考えていたが、今年度はより多くの弦を持つサイクルを対象とした。研究を進めると、このようなサイクルの振る舞いを調べることは、ハミルトンサイクルをもつ偶位数のグラフの中で、辺密度の高い全域２部グラフを求めることに帰着した。
n を偶数とする。Ore の定理は任意の非隣接２頂点の次数の和が n 以上であるグラフにハミルトンサイクルが存在することを主張する。本研究により、 Ore の定理の仮定を満たすグラフには、部集合の位数がそれぞれ n/2 であり、異なる部集合に属する任意の非隣接２頂点の次数和が n/2 である全域２部グラフが存在することが分かった。もし次数和の値が n/2+1 以上であると示されれば、 Moon-Moser の定理よりこの全域部分グラフにハミルトンサイクルが存在し、Moon-Moser の定理は Ore の定理を包含する。しかし帰結は定数 1 だけ弱いので、現時点では Moon-Moser の定理と Ore の定理の強弱関係は不明である。しかし最近、この弱い仮定の下で、ハミルトンサイクルを持たない例外的な２部グラフが特徴付けられた。我々は研究を進め、得られる全域２部グラフがこの例外グラフにならないことを示した。
またマッチングの拡張可能性についての研究も進めた。与えられたグラフのマッチングが完全マッチングに拡張できるとき、そのマッチングは拡張可能であるという。本研究はマッチングの辺の距離に着目し、3以上の任意の整数 k について、ある d が存在し、局所 (k-1)-連結なグラフが位数 k+1 のスターを誘導部分グラフに持たなければ、そのグラフにおいて互いの辺の距離が d 以上離れているマッチングは、その辺の本数によらず完全マッチングに拡張されることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度得られた弦付きサイクルの存在条件を踏まえ、平成30年度は弦を多数持つサイクルの存在条件に拡張することを目指し、重要な知見を得ることができた。特に Moon-Moser による２部グラフにおけるハミルトンサイクル存在の十分条件と一般のグラフにおける Ore の定理は従来独立であると考えられてきたが、本研究は Moon-Moser の定理が Ore の定理を「ほぼ」包含することを明らかにしており、この点では意義深い結果が得られた。ただ本研究の結果が存在を保証する全域２部グラフの次数条件は、 Moon-Moser の仮定より定数 1 だけ弱い。この定数 1 の差を埋めなければ、完全な包含関係は示されない。現時点でまだ改良の余地は残る。
平成30年度はマッチングの拡張可能性に関する研究も進める予定を立てていたが、こちらも研究は進展している。上記研究実績の概要で挙げた結果は、これまで閉局面に埋め込まれていたグラフに関して得られていた位相幾何学的条件を、純粋に組合せ論の言葉に置き換えて記述している。これまで距離に基づくマッチングの主たる研究対象であった平面三角形分割では、各頂点の近傍はサイクルを誘導する。本研究の結果は、サイクルの持つ様々な性質、不変量の中で、連結度が拡張可能性に関係していることを明らかにした。この結果は、今後位相幾何学的な性質を組合せ論的な性質に置き換える上で重要な指針を与える。一方、サイクルは連結度以外にも様々な組合せ論的性質を持つ。連結度以外の性質を抽出して、マッチングの拡張可能性を論じる可能性も否定されていない。大きな知見は得られたが、まだ研究すべきことは多い。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成31年度には、まずマッチングの拡張可能性に関して、まだ調べ切れていない点を明らかにする。本年度の研究で、グラフの各頂点の近傍が誘導する部分グラフの連結度が高い場合について、距離マッチングの格調可能性との関係を明らかにした。しかし本年度開発した手法は、近傍が誘導する部分グラフの連結度が低い場合を分析できない。このことを踏まえて、今年度は２部グラフを扱う。２部グラフは非常に広いクラスを成すが、各頂点の近傍が誘導する部分グラフには全く辺がない。すなわち本年度の研究が明らかにした構造から最も遠い。そこでまず２部グラフに適用可能な拡張可能性の理論を探る。
また、同時にハミルトンサイクルをもつグラフの2-因子について調べる。1986年に、Thomassen は 4-連結な線グラフはハミルトンサイクルを持つと予想した。この予想は現在でも未解決だが、Kaiser と Vrana は 2012年に最小次数 6 以上の5-連結グラフについて、この予想を解いている。一方ハミルトンサイクルの存在を保証する多くの十分条件は、与えられた正整数 k について、成分数 k の2-因子の存在も保証することが知られている。ハミルトンサイクルは成分数 1 の2-因子と解釈することができるので、これらの結果は指定された成分数を持つ 2-因子を見出す問題は成分数を少なくするほど困難になることを示唆する。本研究代表者は、ハミルトンサイクルをもつ 5-連結な線グラフには、指定された成分数を持つ 2-因子が存在すると予想している。これが証明できれば、ハミルトンサイクル問題の困難さが、線グラフのクラスに限定しても観察されることになる。
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| Causes of Carryover |
平成30年11月27日から30日までハワイで開催された国際会議 6th Pacific Workshop on Discrete Mathematics に参加した。当初の予定では、この国際会議に出席するための旅費を本科研費で支出することとしていた。ところが、主催者よりこの国際会議での招待講演を依頼され、それを引き受けたところ、主催者側が旅費を負担した。このことにより、当初予定していた旅費が未使用となり、次年度使用額が生じた。
一方、現在英国 University of Strathclyde の Sergey Kitaev 博士が、彼の専門である組合せ群論と本課題研究の関連に関心を寄せ、令和元年7月に来日し共同研究を行いたいと連絡してきている。当初の研究計画にはなかった招へいであるが、次年度は本課題研究の最終年度として、本研究の応用についても調べたいと考えていた。そこで本年度の未使用額を利用して、この招へいを実現させる計画を立てている。
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