2020 Fiscal Year Research-status Report

高精度演算と共役勾配法を用いた非対称線形方程式の解法ソフトウェアの開発と高速化

Research Project

Project/Area Number	17K00164
Research Institution	University of Tsukuba
Principal Investigator	長谷川秀彦筑波大学, 図書館情報メディア系, 教授 (20164824)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	田中輝雄工学院大学, 情報学部(情報工学部), 教授 (90622837) 石渡恵美子東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 教授 (30287958)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	連立一次方程式の反復法 / 非対称疎行列 / 対称化 / 共役勾配法 / 高精度演算
Outline of Annual Research Achievements	計画では、倍精度と４倍精度で、非対称行列系の解法（BiCG法）を用いる方法、係数行列を対称化して共役勾配法を適用する方法 (CGNE法など、条件数が増大)、A^T y = b’と Ax = b を連立させて解く方法（次元が増大）などを実装し、SuiteSparse Matrix Collection を用いて網羅的な収束性データを収集する予定だった。AVX2 を活用した４倍精度演算の高速化はほぼ完了し、ラップトップコンピュータでも高速性が享受できるようになった。より大きな高速化が期待できる AVX512 は、製造業者がハードウェアとして構成を変更したため、改めて利用方法と効果的な高速化手法を検討中である。単純な対称化 A^T A に対する方法では収束が遅いく、共役勾配法にとって好都合となる対称化法はまだ見いだせていない。全体的にみると、計画の半分程度の実行状況である。現時点までに採取できたデータの範囲では、最初の予想とは異なり、倍精度演算であっても、非対称行列系の解法 BiCG法が非常によい収束性を示し、共役勾配法のよさはまったくひきだせていない。方程式の右辺依存性についての検討も進行中である。計画にはなかったが、８倍精度相当の高精度演算を用いた収束性データを採取したこと、機械学習を用いて行列のグレイスケール画像から反復解法の収束性を予測したこと、共役勾配法の高速化のために HPCG (High Performance Conjugate Gradient) ソフトウェアの使用を検討したこと、低精度（単精度、半精度）と高精度（４倍精度）を組み合わせるといった方法を検討したことなども実績と言えるあろう。 Sabbatical leaveから帰国した2020年度は、COVID-19の蔓延による授業や業務などの対応で多忙をきわめ、まったく進展がなかった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason 理由 1) 2020年度は、COVID-19の蔓延による授業や業務などの対応で多忙をきわめ、まったく進展がなかった。 2) 2019年度には visiting scholar として Innovative Computing Laboratory, University of Tennessee, Knoxville に滞在した。その際、個人でできる研究よりも、そこでしかできない研究に対して集中したため、個人でできる研究は帰国後の先送りとなっている。 3) 2018年 3月までは管理職（情報学群長）として、組織の運営に多くの時間を費やす必要があり、そのときの遅れが依然として挽回できていない。 4) 多くのテスト問題に対して、非対称系の解法（BiCG法）をそのまま用いる方法と係数行列を対称化して共役勾配法を適用する方法に対して倍精度演算と高精度演算によるデータ収集が必要など、組み合わせでテストケースが増大している。
Strategy for Future Research Activity	1) より多くの時間を本課題に費やすべく努力する。 2) 手元のラップトップ環境を活用して、共役勾配法のための対称化法を試行錯誤する。 3) 方程式の右辺と行列の性質を変化させたデータを採取しながら、テスト条件の取捨選択とデータの増大に対する対策を検討し、大規模データが必要な場面を最小化する。 4) 機械学習を利用して、行列のグレイスケール画像から反復解法を適用した際の収束性の予測がうまくいったので、この結果を「問題に対する切り分け」に組み込み、本研究の手法が必要となる問題数の削減をはかる。
Causes of Carryover	COVID-19の影響により、研究者間の打ち合わせや予定していた学会での成果発表ができなかったため、次年度に研究成果を取りまとめ、論文発表経費として使用する予定である。