高精度演算と共役勾配法を用いた非対称線形方程式の解法ソフトウェアの開発と高速化

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K00164
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 長谷川 秀彦 筑波大学, 図書館情報メディア系, 教授 (20164824)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田中 輝雄 工学院大学, 情報学部(情報工学部), 教授 (90622837) ; 石渡 恵美子 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 教授 (30287958)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 連立一次方程式の反復解法 / 非対称行列 / 対称化 / 共役勾配法 / 高精度演算

Outline of Annual Research Achievements

計画では、倍精度と４倍精度で、非対称行列系の解法（BiCG法）を用いる方法、係数行列を対称化して共役勾配法を適用する方法 (CGNE法など、条件数が増大)、A^T y = b’と Ax = b を連立させて解く方法（次元が増大）などを実装し、SuiteSparse Matrix Collection を用いて網羅的な収束性データを収集する予定だった。AVX2 を活用した４倍精度演算の高速化はほぼ完了し、ラップトップコンピュータでも高速性が享受できるようになった。より大きな高速化が期待できる AVX512 はハードウェア構成が変更になったため、利用方法と効果的な高速化手法を再検討してきたが、研究期間が限られていることから、校費とあわせて汎用的なGPU(NVIDA RTX A6000)を導入し、高並列環境に対する高速化の検討を始めた。
採取できたデータの範囲では、最初の予想とは異なり、倍精度演算であっても非対称行列系の解法 BiCG法 が非常によい収束性を示し、対称化した行列 A^T A に対する共役勾配法のよさはまったく見いだせていない。A^T y = b’と Ax = b を連立させて解く方法については組み合わせを試行錯誤中である。方程式の右辺依存性についても検討している。
計画にはなかったが、８倍精度相当の高精度演算を用いた収束性データを採取したこと、行列を28*28,56*56,112*112,224*224のグレイスケールの画像データを作成し、その画像データを用いて行列と反復解法の収束性を機械学習させたこと、共役勾配法の高速化のために HPCG (High Performance Conjugate Gradient) ソフトウェアの使用を検討したこと、低精度（単精度、半精度）と高精度（４倍精度）を組み合わせるといった方法を検討したことなども行った。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

数値実験からは、想定していたよりも非対称系の解法が優位な面が多く、提案手法の有効性がほとんど見いだせていない。

Strategy for Future Research Activity

提案手法に優位性がなかったことを明らかにし、うまくいかないことを発表する。

Causes of Carryover

COVID-19 蔓延防止による在宅推奨のため、研究分担者が研究補助者を雇用できなかった。
2022年度は、研究補助者に経費を使わない計画に変更し、学会発表などに使用する予定である。