Development of Iterative solvers for unsymmetric linear equations using Conjugate Gradient method and High Precision Arithmetic

2022 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 17K00164
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 長谷川 秀彦 筑波大学, 図書館情報メディア系, 教授 (20164824)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田中 輝雄 工学院大学, 情報学部(情報工学部), 教授 (90622837) ; 石渡 恵美子 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 教授 (30287958)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 連立一次方程式の反復解法 / 非対称行列 / 対称化 / 共役勾配法 / 高精度演算

Outline of Annual Research Achievements

計画では、倍精度演算と４倍精度演算で、非対称行列系の解法（BiCG法）による方法、係数行列を種々の方法で対称化して共役勾配法を適用する方法（CGNE法など、条件数が増大）、A x = b と A^T y = b' を連立させて解く方法などを実装し、 SuiteSparse Matrix Collection を用いて網羅的な収束性データを収集する予定だった。AVX2 を活用した４倍精度演算の高速化はすでに完了し、ラップトップコンピュータでも高速な４倍精度演算が実行できるようになっている。さらなる高速化ができると考えていた AV512 はハードウェア構成が変更になったため、事実上、 AVX2 のような利用法は不可能であるという結論である。
収集できたデータの範囲では、最初の予想と異なり、非対称行列系の解法である BiCG法が非常によい収束性を示し、対称化した行列 A^T D A に対して共役勾配法を適用する方法の優位性は見いだせなかった。 A x = b と A^T y = b' を連立させて解く方法についても同様で、BiCG法に勝る有力な候補を見いだせていない。
計画にはなかったが、一部の行列に対して８倍精度演算による収束性データを収集した。また、非対称行列系の解法 BiCG法 による収束性データと係数行列を変換したグレイスケールの画像データを畳み込みニューラルネットワーク CNN を用いた機械学習に適用し、80% 程度の Accuracy で収束性の予測が可能であることを示した。