Development of Iterative solvers for unsymmetric linear equations using Conjugate Gradient method and High Precision Arithmetic

2022 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K00164
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: High performance computing
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: HASEGAWA Hidehiko 筑波大学, 図書館情報メディア系, 教授 (20164824)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 田中 輝雄 工学院大学, 情報学部(情報工学部), 教授 (90622837) ; 石渡 恵美子 東京理科大学, 理学部第一部応用数学科, 教授 (30287958)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2023-03-31
• Keywords: 連立一次方程式の反復解法 / 非対称行列 / 対称化 / 共役勾配法 / 高精度演算 / 疎行列

Outline of Final Research Achievements

The core of numerical simulation is "the solution of simultaneous linear equations with large-scale asymmetric sparse matrices as coefficients", and the iterative method collectively called the Krylov subspace method is widely used. When the coefficient matrix is symmetric, the Conjugate Gradient Method shows excellent convergence for many problems, but when it is asymmetric, such a versatile method does not exist.
In this research, we examine whether the conjugate gradient method can be made to converge well by symmetrizing the coefficient matrix, modifying the equations, and applying high-precision arithmetic. Symmetrizing includes constructing a matrix with twice the number of dimension from an asymmetric matrix A, and constructing a symmetric matrix A'A or AA' from A and the transposed matrix A'.

Free Research Field

コンピューティングサイエンス

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

非対称行列 A から、次元を拡大したり、A'A を作るといった素朴な方法で対称行列を係数とする方程式を構成して共役勾配法で解く。短い漸化式からなる共役勾配法は次元数での収束が理論的に保証されるという利点がある。
多くの場合、共役勾配法は安定に収束するが、丸め誤差の影響を受けやすいため、対称化によって条件数が２乗になること、反復あたりの演算量増大は好ましくない。コンピュータの高速・大容量化は、演算コストを下げるとともに、高精度演算のコストも下げている。コストと精度の問題でこれまでは論外とされていた手法から、隠れた優位性を発見できないかというのが本研究の意義である。