2019 Fiscal Year Annual Research Report
Research on families of maximal triply even codes and related mathematical structures
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17K05153
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| Research Institution | Hirosaki University |
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Principal Investigator |
別宮 耕一 弘前大学, 理工学研究科, 准教授 (60364684)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数的組合せ論 / 符号理論 / 離散幾何 / 組合せデザイン / 散在型単純群 / グラフ理論 / 極大立方重偶符号 / 自己双対符号 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題の主題である立方重偶符号とは二元体上の数ベクトル空間の部分空間で各元のハミング重みが８の倍数となるものである。本研究の目的は、これまで得られた立方重偶符号に関する計算機による数値実験の結果、及び、分類結果から得られた知見を基に立方重偶符号についての一般論を確立することである。
これまでに、本研究代表及び、研究協力者の先行研究において、長さ４８までの分類が得られている。加えて、いくつかの極大立方重偶符号の系列が見出されている。また、ある種の有限幾何からの立方重偶符号の無限系列を構成する方法を見出し、それらが計算機で確認できる範囲において極大であることを確認することができている。
本研究課題の初年度には、これまでに得られた無限系列について分析を進め、それらが強正則グラフと呼ばれるクラスのグラフと強い関連があることを確かめたことに加え、ある種の有限幾何構造から構成される立方重偶符号の系列について、極大性を示すためのいくつかの補題の証明に成功した。
２年目には、第１の成果として、それまで得られた立方重偶符号を応用して、暗号理論における線形秘密分散体系を構成することができた。第２の成果として、立方重偶符号との関連の中で、四元体上の符号から得られる二次体上の格子に新たな意味づけを与えることができた。
最終年度に当たる本年度は、立方重偶符号に関連する組合せ構造として、Leech格子と呼ばれる数理構造に焦点を当て、その自己同型群であるConway0群に関する計算を行った。具体的には、各元が固定するLeech格子の部分構造などを決定し、それらがある種の数理構造とのつながりを持っていることを明らかにした。
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