2017 Fiscal Year Research-status Report
Study on arithmetic geometry of crystals and etale sheaves
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17K05162
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | アイソクリスタル / エタール基本群 / p進微分方程式 / 対数的代数多様体 / de Rham基本群 / de Rham-Witt複体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) Xを標数p>0の完全体k上の射影的で滑らかな代数多様体で幾何的エタール基本群が自明なものとするとき，X上のアイソクリスタルは自明なものしかないだろうとde Jongにより予想されている．今年度は, Xの微分加群層の最大スロープが非負であるとの仮定の下で予想を証明した以前の論文２本が受理された．また，kが有限体のときに，上の予想が収束アイソクリスタルに対する予想に帰着でき，それにより予想がXが曲面のときに帰着できることを示した．論文は準備中であり, これはH. Esnault氏との共同研究である．また，証明の過程で，ある種のアイソクリスタルの法p還元として定まるX上の連接層のクリスタルチャーン類，リジッドチャーン類の消滅を示した．これも論文を準備中である．
(2) p進穴あき円板上の可解な微分加群の基本定理であるp進Fuchs定理およびp進局所モノドロミー定理のより強いヴァージョンがKedlayaにより示されていたが，彼の論文における証明の誤りの修正に成功し，それに関する論文が出版された．K. S. Kedlaya氏との共同研究である．
(3) 適切な条件を満たす標数0の対数的代数多様体の対数的de Rham基本群に関するV. Di Proietto氏との共著論文の修正に取り組んだ．また，B. Chiarellotto氏, V. Di Proietto氏との別の共著論文について，執筆・修正を続けた．
(4) 相対的対数de Rham-Witt複体の相対コホモロジーと相対的対数クリスタリンコホモロジーとの比較定理について, 従来知られていたIllusie, Langer-Zink, 松植の結果の一般化を証明した. これは平山和貴氏との共同研究であり、平山氏の修士論文の結果の拡張である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
de Jong予想に関連する研究は予定通りの進展である. p進Fuchs定理およびp進局所モノドロミー定理のより強いヴァージョンの証明の修正は大変順調に進んだ. 標数0の対数的代数多様体の対数的de Rham基本群に関する研究は, 論文の執筆が予想よりは遅れているが, 大きな問題はない. 相対的対数de Rham-Witt複体の相対コホモロジーと相対的対数クリスタリンコホモロジーとの比較定理については, 予想以上の結果が得られた.
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き, de Jong予想に関連する研究および標数0の対数的代数多様体の対数的de Rham基本群に関する研究を続けていく. de Jong予想については, Higgs-de Rham流を用いたアプローチも研究する. クリスタルに対する特性類の研究の準備も始めていきたい.
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| Causes of Carryover |
学務の多忙につき，国内外への出張が予定より少なかった．また，図書の購入の一部が次年度へと後回しになった．次年度は, 図書の購入，国内外の研究集会やセミナー等への出張を行い，研究成果の発信，研究動向の把握，共同研究の推進を行う．状況によっては，共同研究相手の招聘を行う．学務等の都合で出席できない研究集会については，必要に応じて大学院生や研究員に参加してもらい，研究情報の収集に努める．
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