2022 Fiscal Year Research-status Report
Study on arithmetic geometry of crystals and etale sheaves
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17K05162
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
志甫 淳 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (30292204)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 対数的代数多様体 / 対数的クリスタリンコホモロジー / 対数的ドラームヴィットコホモロジー / 対数的収束コホモロジー / クリスタリンChern類 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
標数p>0の完全体k上の代数多様体Xに対して，滑らかかつ良いコンパクト化が可能な場合は対数的クリスタリンコホモロジーと一致し，有理的にリジッドコホモロジーと一致し，かつ有限生成W(k)加群となるような良い整p進コホモロジー理論が存在するかという問題について研究を続けた．特異点解消についての強い予想を仮定した場合のcdh降下性質を満たすような良い整p進コホモロジー理論の存在，整p進コホモロジー理論の基本的性質の証明，コホモロジーが捻れを持つ具体例の構成，対数的クリスタリンChern類写像やリジッドChern類写像と整合的なChern類写像の構成についての結果が昨年度に得られていたが，今年度はこれらの結果を加える形で論文を改訂し，投稿した．これはVeronika Ertl氏，Johannes Sprang氏との共同研究である．
また，対数的収束サイトを用いた対数的収束コホモロジーの重み篩についての論文を改訂している．これは，以前に行った対数的クリスタリンサイトを用いた対数的クリスタリンコホモロジーの重み篩の構成を対数的収束サイトを用いて書き直すものである．これは，中島幸喜氏との共同研究である．
また，局所自由とは限らないクリスタルの法p還元として得られる連接層のクリスタリンChern類が有理的に消滅するという結果について講演を行った．
更に，過収束アイソクリスタルの圏の淡中基本群，アイソクリスタルに関するde Jong予想，クリスタリンChern類についてこれまでに得られた結果に対する論文の執筆，改訂を行っている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
整p進コホモロジー理論に関する研究，対数的収束コホモロジーについては期待通りの成果が得られている．コロナ禍により共同研究者との直接の議論はあまりできず，また情報収集などの研究活動がまだ制限されていたが，少しづつ元に戻ってきている．これまでに得られた結果についての論文の執筆，改訂については遅れがあるが，大きな問題はない．
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| Strategy for Future Research Activity |
過収束アイソクリスタルの圏の淡中基本群の研究，非正則接続のde Rhamコホモロジーとリジッドコホモロジーの研究，de Jong予想に関連した研究を進める．これまでに得られた結果について，論文の執筆，改訂を進める．
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| Causes of Carryover |
国内外への出張が可能な状態にはなったが，コロナ禍のため，充分にできたとは言えなかった．次年度は国内外への出張を行い，研究討論，研究情報収集に努める．大学内業務の都合で出張が困難な場合は，大学院生に出張してもらい，研究上の情報収集，資料収集を代わりに行ってもらう．コロナ禍のような非常事態に備える準備を整えつつも，通常の研究環境を取り戻すための整備も行う．
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