2020 Fiscal Year Research-status Report
Reseach on modular representations and standard modules of association schemes
| Project/Area Number |
17K05165
|
|---|
| Research Institution | Shinshu University |
|---|
Principal Investigator |
花木 章秀 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (50262647)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | アソシエーションスキーム / アダマール行列 / 分解体 / 一般四元数群 / タウリガー代数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
可換アソシエーションスキームの、有理整数環上の隣接代数、フレーム数、および分解体に関する関係式を求めた。これによって指標表の可能性にいくらかの制限が得られる。
位数 32 の歪アダマール行列の分類を通して、位数 31 のアソシエーションスキームの分類を行った。計算機を用いた分類で、その同型類の数は 98307 である。クラス 2 のもの以外はすべてシュアー的であり、本質的な部分はすべて歪アダマール行列から得られる (H. Kharaghani, A. Mohammadian, B. Tayfeh-Rezaie との共同研究)
アソシエーションスキームの有理数体上の隣接代数は半単純であり、 Wedderburn の定理から有理数体上有限次元の斜体上の全行列環の直和と同型となる。可換体でない斜体が現れる例として位数 8 の四元数群から得られる代数に四元数体が現れることが知られているが、それ以外についてはよく分かっていない。吉川昌慶（兵庫教育大）との共同研究で、一般四元数体が隣接代数に現れるような例を構成した。パラメーターによって非同型な一般四元数体が現れるような列を一般的に構成したが、その構成には歪アダマール行列の存在が必要である。また、群論では位数 8 の四元数群と二面体群が類似のものとしてあるが、これに相当するようなアソシエーションスキームも同時に構成した。
アソシエーションスキーム、あるいは単純グラフに対して Terwilliger 代数が考えられるが、ほとんどの場合、これは複素数体上で考えられる。しかし、定義は任意の単位元をもつ環上でできる。正標数の体上で Terwilliger 代数を考え、半単純になるための条件を考察し、またいくつかの例を与えた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新たな結果が得られており、計画は順調である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
正標数の体上の Terwilliger 代数に関する研究を進める。最近は一般の単純グラフン関する Terwilliger 代数の研究も現れ始めたので、それについても考察し、正標数の体上でも議論したいと考えている。
アソシエーションスキームの既約指標の個数とクラスに関する評価式についても研究を進め、簡単な場合だけでも何か結果を得たいと考えている。
|
| Causes of Carryover |
コロナウイルス感染症の影響で国内外の出張は全く行えなかったため、ほとんど支出がなかった。2021 年度も利用予定は特になく、余剰金は 2022 年度へ繰り越すか、または返還の予定である。
|
