Reseach on modular representations and standard modules of association schemes

2021 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 17K05165
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Research Field: Algebra
• Research Institution: Shinshu University
• Principal Investigator: Hanaki Akihide 信州大学, 学術研究院理学系, 教授 (50262647)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: アソシエーションスキーム / モジュラー表現 / 標準加群

Outline of Final Research Achievements

Let p be a prime, F a field of characteristic p. We consider representations over F. We proved the standard module of a p-scheme is indecomposable. We decided the indecomposable decomposition of an association scheme obtained by repeated wreath products of class 2 association schemes. For a schurian scheme, we proved that the standard module is indecomposable if and only if the scheme is a p-scheme. This is not true for non-schurian schemes. We considered the double centralizer of the adjacency algebra in the full matrix algebra, and proved that the double centralizer is equal to the adjacency algebra if the rank of the scheme is at most 3. We also gave examples such that the double centralizer is not equal to the adjacency algebra of a scheme of rank greater than 3.

Free Research Field

代数学

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

アソシエーションスキームは代数的組合せ論の中心的な研究対象である。この分野では考える対象のサイズが大きくなるとその構造は極めて難しくなる。そこでやや情報を落として、その隣接代数とその表現を考える「表現論」が有効になる。このときに「どの程度情報が保たれるか」を考えることは重要である。考える体が複素数体であるときにはこれまでにも多くの研究があるが、正標数の体上の研究は少ない。本研究では正標数の体上の表現を研究し、特にその直既約分解に関する多くの結果を得た。得られた結果はこれまでにはない、新しい内容のものである。表現に研究において、その直既約分解は基本的であり、今後の更なる研究と応用に期待したい。