2020 Fiscal Year Research-status Report
跡公式とゼータ関数を用いた素測地線とスペクトルの分布に関する研究
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17K05181
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
橋本 康史 琉球大学, 理学部, 准教授 (30452733)
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2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | セルバーグ跡公式 / セルバーグゼータ関数 / ラプラシアンのスペクトル / 素測地線定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
セルバーグゼータ関数は、体積有限なリーマン面上の素な測地線の長さに関するオイラー積で定義される関数で、素数に関するオイラー積で定義されるリーマンゼータ関数の幾何類似とみなされる。これらの2つのゼータ関数の間には、全複素平面への解析接続ができることや関数等式をもつことなど、類似の性質が少なくない。しかしながら、有理型関数としての位数が違うことから、非絶対収束域における挙動に大きな相違点がある。この相違点は、リーマンゼータ関数やそのいくつかの類似物では幅広く適用されている複素解析的な手法を、セルバーグゼータ関数に適用することを困難にしている。
2020年度の研究では、モジュラー群に関するセルバーグゼータ関数に対して、その非絶対収束域における評価を改良した。モジュラー群に関するlength spectrumが不定値２限２次形式の類数と基本単数を用いて記述できることから、セルバーグゼータ関数を絶対収束域において類数と基本単数を用いて記述できることはよく知られているが、本研究ではこれを非絶対収束域に拡張することで、セルバーグゼータ関数の評価を指数和評価や指標和評価へ帰着させた。そして、古典的に知られている van der Corput の評価や Weil の評価を適用することで、モジュラー群に関するセルバーグゼータ関数の評価を従来知られているものより改良させることに成功した。
本研究の内容については、すでに国際学術誌 Mathematische Nachrichten に投稿し、採択との通知を受けている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初2020年度には、合同部分群に関する length spectrum の研究成果をコンパクトな数論的多様体や高次元の多様体へ拡張する計画だった。これについては部分的な成果を得ているが、現在の時点で公表するに至っていない。一方で、モジュラー群に関するセルバーグゼータ関数の非絶対収束域における評価は、Hejhal によって1980年ごろに得られた評価の（おそらく）初めての改良であり、非常に有意義な成果であると考える。
以上、計画どおりに進まなかった部分もあるが、一方で当初予期できなかった成果も得られたことを総合して考え、「おおむね順調に進展している」と判断する。
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| Strategy for Future Research Activity |
2020年度の研究では、モジュラー群に関するセルバーグゼータ関数の非絶対収束域における評価を行なったが、合同部分群もモジュラー群と同じような length spectrum の数論的な表示をもつため、今後はこの評価を合同部分群を含めて拡張・一般化する。加えて、この評価を行なう際に得られた手法や成果をラプラシアンの固有値評価に応用する。
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| Causes of Carryover |
感染症の拡大状況をみて対面での開催を断念する研究集会が多かったため、予定通りの支出ができなかった。次年度には、研究に必要となる書籍・資料の購入や、研究集会の参加費への支出を予定している。
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Research Products
(4 results)
