2021 Fiscal Year Research-status Report
CM型代数曲線の族、多重ガンマ関数、スターク予想、及び関連する数論的諸問題
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17K05183
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
加塩 朋和 東京理科大学, 理工学部数学科, 准教授 (10403106)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Stark予想 / 多重ガンマ関数 / CM周期 / Gross-Stark予想 / p進多重ガンマ関数 / p進周期 / 冪整基底 / 単数群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、Stark単数、CM周期、多重ガンマ関数やそれらのp進類似物をそれぞれ詳しく調べ、また、お互いの関係を明らかにすることで、Stark予想やその類似の問題に対し、新しい切り口で挑戦するものであった。研究開始時点で、Stark単数と多重ガンマ関数の関係を表した新谷公式、CM周期と多重ガンマ関数との関係を表した吉田予想、そしてこれらのp進類の理論が良く知られていた。これらに加え、フェルマー曲線のような具体的な代数曲線の族を中心に、幾何的な道具立てを用いることにより、問題解決への寄与を目指している。特に当該年度は以下のような研究を行った。
・CM周期と多重ガンマ関数の関係、及びそれらのp進類似を同時的に扱うことで、p進周期環に値をとるガンマ関数を構成した。またこの関数の満たす良い性質を調べ、特に絶対フロベニウス作用を表す予想式から、Stark予想やその類似問題の精密化が得られることを発見した。また、特別な場合はColemanが与えた、フェルマー曲線上のフロベニウス行列の公式と関係することを示した。これらの研究内容は2部のプレプリントとして公開した。
・Stark予想やその類似の問題は、Hilbertの第12問題（類体構成問題）へのアプローチの一つにもなっている。関連して、代数体の整数環の具体的な構成にも興味を持ち、Hasseの冪整基底問題にも取り組んだ。具体的には、3次巡回体が冪整基底を持つための必要十分条件に関する共著論文が1部出版された。
・上と同様に、代数体の単数群の具体的な構成にも興味を持ち、有理数体のZ2円分拡大の相対単数群の具体的な表記に関する予想を共著論文としてまとめ、プレプリントとして公開した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウィルス流行の影響により、授業準備など教育のための負担が増加した。一方で、他の専門家と研究討論や意見交換を行う機会が激減した。これらの影響で研究に多少遅れが出ている。特に、プレプリントとして公開した論文の投稿・査読対応・出版に遅れが出ている。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの主な研究成果を2つのプレプリントとしてまとめている。今後は、その内容を精査し、学術誌での出版を目指す。
また、研究集会等で結果発表を積極的に行い、他の参加者と研究討論などを通して、結果の更なる精密化や拡張を目指す。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの流行の影響により研究時間が削られ、いくつかの研究テーマが不完全な状態である。
今後、研究集会での自身の結果の発表などを通し、他の専門家と意見交換を行い、結果の精密化や応用等を目指したい。
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