2017 Fiscal Year Research-status Report
Gelfand-Tsetlin basis and geometric representations of elliptic quantum groups
| Project/Area Number |
17K05195
|
|---|
| Research Institution | Tokyo University of Marine Science and Technology |
|---|
Principal Investigator |
今野 均 東京海洋大学, 学術研究院, 教授 (00291477)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | 楕円量子群 / 有限次元表現 / stable envelope / 楕円コホモロジー / 旗多様体 / 幾何学的表現 / q-KZ方程式 / 楕円超幾何積分 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
楕円量子群 U_{q,p}(sl_N)の表現を用いて, 楕円q-KZ方程式の楕円超幾何積分解を導出した. 特に被積分関数として現れる楕円重み関数の明示式を得, R行列による変換性や直交性、擬周期性などの性質や組み合わせ論的構造の一般旗多様体との関係を示した.
次いで, U_{q,p}(gl_N)のベクトル表現のテンソル積上にGelfand-Tsetlin基底を構成し, その上に有限次元最高ウェイト既約表現を構成した. この表現は, 組み合わせ論的な構造に限れば, Ginzburg-Vasserotや中島による量子アフィン代数U_q(gl_N)の同変K理論上の幾何学的表現の自然な楕円関数型拡張になっている. また, 楕円重み関数のある種の特殊化は, テンソル積空間の標準基底からGelfand-Tsetlin基底への変換行列を与えることを示した.
一方, Aganagic-Okounkovによって, 一般に箙多様体の同変楕円コホモロジーに対して楕円stable envelope というSchubert基底のある種の拡張の存在が示されている. 本研究では, アーベル化の方法を用いて, 上述の楕円重み関数が一般旗多様体の場合の楕円stable envelopeを与えることを示し, また, 上述の楕円重み関数の特殊化は, 同変楕円コホモロジー上の固定点への制限を与えることを示した. さらに, 後者を基底の変換行列として, stable 基底から固定点基底を定めた. これにより, Gelfand-Tsetlin基底と標準基底はそれぞれ, 一般旗多様体に対する同変楕円コホモロジー上の固定点基底とstable 基底に同一視できることを示し, 前述の有限次元最高ウェイト既約表現は同変楕円コホモロジー上の幾何学的表現にそのまま持ち上がることを示した.
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
一般旗多様体の場合に, 楕円重み関数の導出やそのAganagic-Okounkovの楕円stable envelopとの同一視, 同変楕円コホモロジー上の楕円量子群の有限次元表現の構成など, 当初目標としていた課題は全て遂行できた.
|
| Strategy for Future Research Activity |
サイクリックな箙旗多様体の場合に, 頂点作用素やR行列の導出, 楕円重み関数の導出やAganagic-Okounkovの楕円stable envelopとの同一視, 同変楕円コホモロジー上の楕円量子群の有限次元表現の構成などを行う.
|
