2018 Fiscal Year Research-status Report
Gelfand-Tsetlin basis and geometric representations of elliptic quantum groups
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17K05195
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| Research Institution | Tokyo University of Marine Science and Technology |
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Principal Investigator |
今野 均 東京海洋大学, 学術研究院, 教授 (00291477)
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2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 楕円量子群 / 量子トロイダル代数 / q－Fock表現 / テンソル積表現 / Drinfeld余積 / 幾何学的表現論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子トロイダル代数の楕円関数的かつダイナミカルな変形として, 楕円量子トロイダル代数U_{q_1,q_2.p}(g)を定式化した. これは, Drinfeld型生成元による定式化であり, Drinfeld余積によるHopf亜代数構造を備え, 代表者が先行研究において定式化した楕円量子群U_{q,p}(g) (gはアフィン・リー代数)のgがトロイダル・リー代数の場合への拡張になっている. g=gl_1 型と gl_N型の場合に, ベクトル表現を構成し, これをDrinfeld余積によってテンソル積表現に持ち上げ、さらに帰納的に半無限テンソル積を定めることにより, q-Fock表現を得た. 得られたDrinfeldカレントの作用が, U_{q_1,q_2.p}(g)の定義関係式を満たすことも直接示される.
一方, 昨年度の研究で得た楕円量子群U_{q,p}(gl_N)の標準余積に基づくGelfand-Tsetlin(GT)基底上の有限次元テンソル積表現は, Drinfeld余積に基づく標準基底上のテンソル積表現と同型になることを見出し, Okounkovらの楕円stable envelopeは, 少なくとも有限次元表現のレベルで, U_{q,p}(gl_N)の標準余積からDrinfeld余積への準Hopf変形のツイスターと同一視できることを示した.
以上の結果と 昨年度に得たU_{q,p}(gl_N)のGT基底上の有限次元テンソル積表現と一般旗多様体に対するトーラス同変楕円コホモロジー上の幾何学的表現との対応や, 三角関数型への退化極限と同変K-理論上の幾何学的表現との対応を総合すると, 上で得たq-Fock表現は, トロイダルgl_1やgl_N代数に対応するサイクリックな箙多様体に対するトーラス同変楕円コホモロジー上の幾何学的表現に対応することが予想される.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
楕円量子群をトロイダル・リー代数の場合に拡張し, トロイダルgl_1やgl_N代数の場合に, q-Fock表現の構成とそのサイクリックな箙旗多様体に対する同変楕円コホモロジー上の幾何学的表現との対応への予想は得られた. また, 頂点作用素も一部の構成はできている. 一方, トロイダルの場合の楕円R行列や楕円重み関数の導出, Okounkovらの楕円stable envelopに対する表現論的な理解は未だ得られていない.
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の結果に基づいて, 楕円量子トロイダル代数の頂点作用素の構成を完成させ, その相関関数とNekrasov分配関数との関連や, ３次元超対称ゲージ理論において観察されているミラー対称性やシンプレクティック双対性との関連を調べていく. トロイダルの場合の楕円R行列や楕円重み関数の導出, Okounkovらの楕円stable envelopに対する表現論的な理解へ向けての研究も引き続き行う.
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