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2017 Fiscal Year Research-status Report

代数多様体上の曲線の変形障害とヒルベルトスキームの研究

Research Project

Project/Area Number 17K05210
Research InstitutionTokai University

Principal Investigator

那須 弘和  東海大学, 理学部, 准教授 (30535331)

Project Period (FY) 2017-04-01 – 2020-03-31
Keywordsヒルベルトスキーム / 変形 / 障害 / K3曲面 / ファノ多様体 / ヒルベルト旗スキーム / 退化 / 非被約成分
Outline of Annual Research Achievements

本年度の主な研究実績は以下の通りである:
1. 指数1の任意の非特異3次元ファノ多様体に対し、その上の非特異連結曲線のヒルベルトスキームに生成的に被約でない既約成分(generically non-reduced component)が存在することを証明した。
2. 非特異3次元ファノ多様体のヒルベルト旗スキームが、非特異かつ期待次元を持つための明示的な条件を得た。
3. 指数1の3次元ファノ多様体上の退化曲線が安定的に退化する(stably degenerate)ための十分条件を与えた。
Vをピカール数1の非特異3次元ファノ多様体とし、その指数をrとする。r=4の場合にはマンフォードの例(1962)により、r=3とr=2の場合には向井・那須の結果(2009)により、V上の非特異連結曲線のヒルベルトスキームが生成的に被約でない既約成分を持つことが知られていた。r=1の場合も那須(2017)により部分的な結果(g=3)が得られていたが、このr=1の場合に完全に解決し(結果1)、マンフォードの例をピカール数1の非特異3次元ファノ多様体へと一般化した。この結果は佐藤栄一氏の与えた問題(2007)への解答となる。多様体上の円錐曲線をうまく利用することにより、埋め込み変形が障害を受けるような被障害曲線(obstructed curve)の族を構成した。一方、ファノ多様体のヒルベルト旗スキームの研究にも取り組んだ。結果2を応用することにより、退化曲線の障害性と安定性について調べ、対応する点におけるヒルベルトスキームの次元を決定した(結果3)。これら結果について整理し、プレプリント「Obstructions to deforming curves on a prime Fano 3-fold」を投稿した(arXiv:1804.08362)。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

残っていた指数1の3次元ファノ多様体のヒルベルトスキームの問題を解決した。一方で曲線の安定的退化の問題については、技術的な問題が残り、全ての退化曲線を取り扱うことができなかった。

Strategy for Future Research Activity

非特異3次元ファノ多様体のヒルベルトスキームの研究が一段落したので、今後は多様体に緩やかな特異点を許して考察したい。

Causes of Carryover

(理由)研究集会への参加が予定より少なかった為に未使用額が生じた。
(使用計画)研究集会への参加と専門図書の購入を計画的に行う。毎年札幌で開催されているK3曲面・エンリケス曲面の勉強会への参加を計画している。

  • Research Products

    (7 results)

All 2018 2017 Other

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (5 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 1 results) Remarks (1 results)

  • [Journal Article] Obstructions to deforming curves on a 3-fold, III: Deformations of curves lying on a K3 surface2017

    • Author(s)
      Hirokazu Nasu
    • Journal Title

      International Journal of Mathematics

      Volume: 28 Pages: 1750099 [30p.]

    • DOI

      10.1142/S0129167X17500999

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] On the image of Hilbert-flag schemes and non-reduced components of the Hilbert scheme of Fano 3-folds2018

    • Author(s)
      那須弘和
    • Organizer
      第4回杜の都代数幾何学研究集会@仙台
  • [Presentation] Obstructions to deforming curves on a prime Fano threefold2017

    • Author(s)
      那須弘和
    • Organizer
      第16回代数曲面ワークショップ at 秋葉原
    • Invited
  • [Presentation] Obstructions to deforming curves on a prime Fano threefold2017

    • Author(s)
      那須弘和
    • Organizer
      日本数学会2017年度秋季総合分科会
  • [Presentation] Obstructions to deforming curves on a prime Fano threefold2017

    • Author(s)
      那須弘和
    • Organizer
      第5回K3曲面・エンリケス曲面ワークショップ
  • [Presentation] Obstructions to deforming curves on a prime Fano threefold2017

    • Author(s)
      Hirokazu Nasu
    • Organizer
      Hakodate workshop on arithmetic geometry 2017
    • Int'l Joint Research
  • [Remarks] 研究者Webページ

    • URL

      http://fuji.ss.u-tokai.ac.jp/nasu/index.html

URL: 

Published: 2018-12-17  

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