2019 Fiscal Year Research-status Report
The Lie structure of the complete Hochschild cohomology
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17K05211
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
眞田 克典 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (50196292)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 代数学 / 環論 / ホッホシルトコホモロジー / リー代数構造 / Gerstenhaber構造 / Batalin-Vilkovisky構造 / ホッホシルト拡大 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
多元環のホッホシルトコホモロジー環のリー代数構造はGerstenhaber構造とも呼ばれ、それに加え、-1次の作用素(BV作用素)の存在に関する研究が進められてきており、多元環によっては、リー・ブラケットがこの作用素で表現できることが知られています。この構造はBatalin-Vilkovisky構造(BV構造)と呼ばれます。BV構造は多元環の表現論においてその重要性が認識されてきています。
研究の出発点としての対称多元環のホッホシルトコホモロジー環はBV構造をもつことが知られており、次の段階として、その一般化であるフロベニウス多元環のホッホシルトコホモロジー環はBV構造をもつかどうかがあります。すでに、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環に対しては、そのホッホシルトコホモロジー環がBV構造をもつことが示されています。
本研究課題の主要な目標は、以上を踏まえて、フロベニウス多元環に対してコホモロジーを全次元に拡張した完備ホッホシルトコホモロジー環における、いわゆる完備BV構造の存在性を研究すること、また具体的でかつ応用上重要なフロベニウス多元環に対するBV構造を決定することです。
当該年度は東京理科大学大学院博士後期課程の臼井智氏と板垣智洋氏（現在、高崎経済大学）との共同研究によって、一昨年度から研究を進めてきた、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環の完備ホッホシルトコホモロジー環にBV作用素が構成できること、および自己移入的中山多元環の具体例に対して、BV作用素を実際に計算し、それを用いたリー・ブラケットの具体計算を行った。これらを論文にまとめ、arXivに公開し、学術誌に投稿した。またいくつかの研究集会で発表を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
完備ホッホシルトコホモロジー環におけるBV構造の一般論の研究は、臼井智氏、板垣氏と共同で進めており、Z. Wang氏による特異圏上で定義されるテイトホッホシルトコホモロジーの研究を発展させて、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環の完備ホッホシルトコホモロジー環に、ホモロジーのコンヌ作用素の拡張としてのBV作用素を構成できるという結果を得ました。同時に、自己移入的中山多元環を例として具体的にBV作用素を求め、リー・ブラケットを計算することもできました。これたを論文にまとめることができ、arXivで結果を公開し、学術誌に投稿ずみです。
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| Strategy for Future Research Activity |
通常のホッホシルトコホモロジーに関しては中山自己同型が対角化可能なフロベニウス多元環に対してBV構造が構成できるという最善の結果を、完備版に拡張できたことは意義ある成果と考えていますが、対角化可能ではない中山自己同型をもつフロベニウス多元環に対するBV構造の可能性を追求したい。また、鯉江氏（長岡工業高等専門学校）にも専門知識の提供をいただき、多元環のホッホシルト拡大に対してのBV作用素の具体例の研究もさらに進めたい。
また、Tate-Hochschildコホモロジーの文脈でのBV構造の理論について整理したい。
これらの研究成果は、今年度の研究集会、学会等で発表したいと考えています。
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| Causes of Carryover |
2019年度末に予定していた国外への研究打ち合わせが行えなかったことから、国外旅費の支出がなかったため。
(使用計画) 国内で開催される「代数学シンポジウム」、「環論および表現論シンポジウム」などへの旅費の他、講演謝金、学会参加費、本研究課題に関連する書籍および電子機器備品等として使用する計画です。
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