The Lie structure of the complete Hochschild cohomology

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05211
• Research Institution: Tokyo University of Science
• Principal Investigator: 眞田 克典 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (50196292)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 代数学 / 環論 / ホッホシルトコホモロジー / リー代数構造 / Gerstenhaber構造 / Batalin-Vilkovisky構造 / ホッホシルト拡大

Outline of Annual Research Achievements

多元環のホッホシルトコホモロシジー環はリー代数構造、すなわちGerstenhaber構造をもつ。それに加えて、-1次の作用素（BV作用素）の存在に関する研究が近年進められており、多元環によっては、リー・ブラケットがこの作用素で表現できることが知られている。この構造はBatalin-Vilkovisky構造（BV構造）と呼ばれている。対称多元環に対しては、そのホッホシルトコホモロジー環はBV構造をもつことが知られており、その一般化であるフロベニウス多元環の場合にBV構造をもつかどうかが問題となる。すでに、中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環に対しては、そのホッホシルトコホモロジー環がBV構造をもつことが示されている。
本研究課題の主要な目標は、以上を踏まえて、フロベニウス多元環に対してコホモロジーを全次元に拡張した完備ホッホシルトコホモロジー環における、いわゆる完備BV構造の存在性を研究すること、また具体的でかつ応用上重要なフロベニウス多元環を対象にしてそのBV構造を決定することである。以前から研究を進めてきた中山自己同型が対角化可能であるフロベニウス多元環の完備ホッホシルトコホモロジー環にBV作用素が構成できること、および自己移入的中山多元環の具体例に対して、BV 作用素を実際に計算し、それを用いたリー・ブラケットの具体計算に関する共著論文が、すでに学術誌に掲載されたが、当該年度は、ホッホシルト拡大のホッホシルトコホモロジー環およびそのBV構造について、前年度に引き続き具体計算も行なって明らかにすることを進めた。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

これまでに本研究で得られた結果をふまえて、フロベニウス多元環であるホッホシルト拡大のホッホシルトコホモロジー環に関係する論文を詳細に検討しながら、そのBV構造の研究に取り組んだ。ただ、関連する論文は多くはなく、ホッホシルト拡大環の具体計算例も限られている。その中で、自己移入的中山多元環のホッホシルト拡大環の構造の具体例が知られているが、その環に対するホッホシルトコホモロジー環の計算は途上であり、そのBV作用素の構成の手がかりは現時点で得られていない。

Strategy for Future Research Activity

前項で述べた自己移入的中山多元環のホッホシルト拡大環の構造に関しては、鯉江秀行氏（神戸市立工業高等専門学校）による研究があり、その手法は2次のホッホシルトホモロジーを用いたもので、複雑ではあるが巧みなものである。今後も、同氏との研究打ち合わせを通して、ホッホシルト拡大に対しての具体計算の研究を進めたい。
また、最近、中山自己同型が対角化可能ではないフロベニウス多元環に対して通常のホッホシルトコホモロジーにBV作用素を定めることができるという研究がされており、その完備化についても、臼井智氏（東京都立産業技術高等専門学校）からの専門知識の提供を受けてこの研究につなげていくことを計画している。

Causes of Carryover

2022年度に予定していた国外での研究打ち合わせ、学会発表等を行わなかったため、国外旅費の支出がなく、次年度使用額が生じた。
（使用計画） 国内で開催される「代数学シンポジウム」、「環論および表現論シンポジウム」などへの旅費の他、学会参加費、本研究課題に関連する書籍および電子機器備品等として使用する計画である。また、国外で開催が予定されている国際研究集会への参加、研究打ち合わせのための旅費や参加費に利用する計画である。