2018 Fiscal Year Research-status Report
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17K05233
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
佐野 友二 福岡大学, 理学部, 教授 (00399792)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | ケーラーアインシュタイン計量 / トーリックファノ多様体 / 二木不変量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題の目標はファノ多様体上にケーラーアインシュタイン計量が存在するための条件を乗数イデアル層などを用いて検証しやすい形で提示することである．そのため，ケーラーリッチ流やモンジュアンペール方程式の連続法などの極限に現れる現象を代数的な対象（乗数イデアル層）で捉えることを計画していた．トーリックファノ多様体上では Wang-Zhu によりケーラーアインシュタイン計量の問題は二木不変量の消滅条件に帰着されることが知られている．よって二木不変量が消滅しないときに現れる障害を特徴付ければよい．本年度は，この問題を動機として，昨年度に引き続き，トーリックファノ多様体のモーメント多面体の重心の極双対に相当すると期待されるトーリック多様体の扇に付随する不変量について調べた．特に，前年度に見つかった証明のギャップを埋めて，二木不変量が消滅するならば，扇に付随する不変量が消滅することを示した．これにより，トーリックファノ多様体にケーラーアインシュタイン計量が存在しないときに，新たな不変量が障害になることがわかった．証明の主たる部分はモーメント多面体の重心が原点であるような多面体の特徴付けである．通常，なめらかなトーリックファノ多様体のモーメント多面体の条件そのものが組み合わせ論的に強い制限を持つが，そこへ重心の条件を加えることで，さらに制限的な構造しか持たないことを示した．これにより前年度に見つかった証明のギャップを埋めることができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究課題の中心的であった問題について大きな進捗を得られた．その際に，ケーラーアインシュタイン計量をもつトーリックファノ多様体のモーメント多面体は組み合わせ的に特殊な構造を持つことがわかった．これにより，本研究課題の次の段階へ進めることができるようになった．さらに，上記の特徴を用いて，ケーラーアインシュタイン計量の問題以外への応用の可能性を探ることが考えられるようになり，当初の計画とは異なるが，研究の進捗状況としては順調と判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究課題の次の段階として，二木不変量の極双対に相当する不変量の幾何学的な意味を明確にする．新たな不変量はトーリック多様体に付随するモーメント多面体と扇に付随するファノ多面体の極双対性に着目して，形式的に導入されたが，すでに知られている（トーリック）ファノ多様体の幾何学における位置付けがまだなされていない．ケーラーアインシュタイン計量の問題に限らず，ファノ多様体に関連する問題を調べ，新たな不変量との関係を見出すことを計画している．そのために，引き続き，ワークショップの開催などを通じて専門家とのコミュニケーションを継続する．
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| Causes of Carryover |
出張スケジュールの調整のために，想定よりも出張による支出が少なかったために次年度使用が発生した．次年度使用による余剰分は，ケーラー幾何学に関するワークショップを新たに開催し，その招聘旅費として使用することを計画している．
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