2017 Fiscal Year Research-status Report
pursuing global essences of manifolds with geometric structures via special surgeries
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17K05236
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
足立 二郎 北海道大学, 理学研究院, 研究院研究員 (20374184)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 接触構造 / エンゲル構造 / 多重ラウンド手術 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の大きな目的は,特殊な手術の視点から接触構造やその一般化などの幾何構造のトポロジーの統一理論を目指すことにある.２０１７年度に行った研究では，前年度までの予定の科学研究費の研究課題を延長したこともあり，引き続き高次元の接触構造の柔軟性の特徴付けの研究も行った．また，本研究課題にとって直接的な研究として，Goursat構造と呼ばれる構造を持つ多重ラウンドハンドルを構成した．これは，Goursat多様体の構造をも込めた多重ラウンド手術を構成したことを意味する．この構成がベストのものなのかはまだ分からないが，これを手がかりに接触トポロジーの理論を拡張して展開していくことが出来るのではないかと考えている．その意味で，ここで構成したものは新しい理論を築き上げるために，非常に重要なものであるといえる．
高次元の接触構造の柔軟性の特徴付けの研究は，本研究課題にとっても重要なものである．高次元での柔軟性をうまく特徴づけることが出来れば，それは高階の接触構造であるGoursat構造での柔軟性の研究に，結びつけることができるからである．２０１７年度の研究では，埋め込まれた超曲面上に誘導される特性葉層を用いる特徴付けを考察したが，さらに精緻なものが必要なようである．
今回構成したGoursat多重ラウンドハンドルは，大雑把には３次元接触ハンドルのCartan延長でえられるものに近い．Goursat構造をもった多様体に接着するためには，少しの工夫が必要である．形は３次元ハンドルの高次元トーラスにパラメータを持つ族だとも考えられる．これが開本構造のように働き接触構造の理論が一般化されていくのではないかと考えている．今後もこの方針での研究の展開を計画している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
特殊な手術の方法で，接触トポロジーの概念を一般化して展開していくことが本研究課題の目的である．前年度までの科研費の研究課題を延長したために，今年度はこれまでの研究の続きの感じが強かったが，それは本研究計画にも密接に関連するものである．また，Goursat構造を持つ多様体の多重ラウンド手術の構成を考察出来たことは，申請書の初年度の研究計画と比べても，おおむね順調に進展していると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後も，まずは高階の接触構造であるGoursat構造をもつ多様体の，構造を込めた多重ラウンド手術の方法を追求したい．これはもちろん４次元多様体上のGoursat構造であるEngel構造の研究を含んでいる．Engel構造のトポロジーまわりの研究が，昨今の世界中で動き始めた感がある．本研究計画の手法のEngelトポロジーへの寄与を，集中的に考えてみるのも良いかもしれないと考えている．
まさに，いま動いている分野なので，国内外の専門家たちと議論しながら研究を進めることが必要だと考えている．
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| Causes of Carryover |
ポーランドでの研究集会"Geometric and Algebraic singularity Theory"に関連しての予算の使用を予定していたが，必要な額が予定より少なく，もう一つの予算（基盤研究(C)25400077）で賄うことができた．
研究発表や共同研究の打ち合わせのために，アメリカ合衆国への渡航に予算の使用を考えていたが，向こうから招待を受けた．
現在急速に発展している分野と強い関係があるので，国内外の専門家たちと会って，直接に議論し情報を交換することが必要である.そのために，研究費を使用したい．
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Research Products
(7 results)
