2021 Fiscal Year Research-status Report

pursuing global essences of manifolds with geometric structures via special surgeries

Research Project

Project/Area Number	17K05236
Research Institution	Hokkaido University
Principal Investigator	足立二郎北海道大学, 理学研究院, 研究院研究員 (20374184)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2023-03-31
Keywords	Goursat構造 / 接分布構造 / ホモトピー原理
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的は，接触構造などの幾何構造に関する微分トポロジーの統一理論の創生を目指すことにある．2021年度に行った研究では，まずは昨年度に引き続き，Goursat手術を用いたGoursat多様体の研究を行った．そして，様々なタイプの接分布構造の閉多様体上での存在と分類に関する考察を行った．ホモトピー原理の視点から研究への可能性を探り，その道具の考察を深めた． Goursat構造とは，多様体上の2次元の平面場で，Lieかっこ積をとることで次元が1ずつ増えて，接束全体まで次元が上がるものである．とくに多様体が3次元の場合は接触構造であり，4次元のときにはEngel構造とよばれる．接触構造，Engel構造の研究は発展を続ける分野である．Goursat構造の研究は，大域的な幾何学としては今後の発展が重要であると期待される．本研究の手段の1つは，通常のハンドルと高次元トーラスとの積の形をした多重ラウンドハンドルをもちいた多重ラウンド手術である．昨年度に引き続き，Goursat構造に関する多重ラウンド手術の理論を精密化し応用を考察した．特に，Goursat構造の柔軟性との関連に関する考察を進めた．また，様々な接分布構造の閉多様体上での存在に関する考察を行った．1つは，上記のGoursat構造である．本研究では一般の高階のGoursat構造の場合について考察をしていて，これまでにない視点の研究である．この視点からの低次元へのフィードバックには，この分野の研究の重要な展開が期待できる．現在進行中の研究であるため，具体的内容の公表は控えたい．今後も国際共同研究として進めていく．その他様々な接分布構造の閉多様体上での存在に関する考察を進めている．ホモトピー原理による近似という方法を1つのアイディアとしているが，具体的にはそれぞれの場合に独自の方法で対応しながら，考察を進めている．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason 新型コロナウイルス感染症の蔓延が,研究の進捗にも大いに影響した．講義準備や学生対応に費やす時間の飛躍的に増加した状態が続いた．学ぼうとする人たちを止めないために，時間の全てが使われたといっても過言ではない．昨年度の経験もふまえて，隙間のほんの僅かな時間に研究を続けようと努めた．しかし，計画にはとても追いつかなかったと言わざるを得ない. 研究内容としては，計画を鑑み，さらに一般の構造の研究に舵を切り考察を深めた．なんとか停滞せずに前に進めている感はある．しかし，特に研究結果の発信ということには遅れを感じる．時間が取れるようになれば挽回は可能であると分析する.
Strategy for Future Research Activity	まず，感染症がおさまって研究時間を確保できる状況になることを祈りたい. Goursat手術と構造の柔軟性の関連について，結果をまとめ，他の研究との関連を探っていきたい．いくつかの結果をまたぐ形の考察が期待できる．様々な幾何構造の存在に関する共同研究を進めたい．できれば直接に会って議論したい．必要に応じて新しい方法を模索しながら進めていきたい．
Causes of Carryover	新型コロナウイルス感染症のひきつづきの蔓延により，研究機会がおおいに制限を受けた．共同研究や，研究成果の発表などのための旅費を予定していたが，使用することはなかった. 次年度には，渡航が可能になれば海外の研究者との直接の議論の機会を持ちたい．また周辺分野の活性化のための研究情報の交換の場を企画したい．オンラインによる研究情報の交換や議論のために必要な設備も整えたい．