2022 Fiscal Year Research-status Report
pursuing global essences of manifolds with geometric structures via special surgeries
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17K05236
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
足立 二郎 北海道大学, 理学研究院, 理学研究院研究員 (20374184)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | Goursat 構造 / トーラス手術 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の大きな目的は，幾何構造に関する大域的微分トポロジーの統一理論の創生を目指すことにある．本研究では特に，接触構造，Engel構造の一般化としてのGoursat構造に関する考察を目標としていた．感染症のまん延により進行が遅れたが，すでに期間を延長していることもあり，この方面での考察は進んできた．その意味で，小さな枠から大きな枠への展開の研究にも着手しつつある．2022年度に行った研究では，トーラス手術を用いたGoursat多様体の研究を行った．そして，様々なタイプの接分布構造の考察へ，ホモトピー原理の視点から研究への可能性を探り，その道具の考察を深めた．
Goursat構造とは，多様体上の2次元の平面場で，Lieかっこ積をとることで次元が1ずつ増えて，その多様体の接束全体まで次元が上がるものである．とくに多様体が3次元の場合は接触構造であり，4次元のときにはEngel構造とよばれる．接触構造，Engel構造の研究は発展を続ける分野である．Goursat構造の研究は，大域的な幾何学としては今後の発展が重要であると期待される．
本研究の手段の1つは，通常のハンドルと高次元トーラスとの積の形をした多重ラウンドハンドルをもちいた多重ラウンド手術である．特に，Goursat構造の柔軟性を実現する手術の考察を行った．これはまさに接触トポロジーに通じるものであることが分かった．
また，Goursat構造の存在等に関して，国際共同研究を進めている．接触構造，Engel構造に関しては先行研究がある．本研究は，高階のGoursat構造の場合について考察をしていて，低次元へのフィードバックには，この分野の研究の重要な展開が期待できる．
研究集会「Singularity of Differential Maps and its Applications」を，本研究費のサポートのもとに行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルス感染症の蔓延が，研究の進捗にも大いに影響した．講義準備や学生対応に費やす時間の飛躍的に増加した状態が続いた．昨年度までの経験もふまえて，隙間のほんの僅かな時間に研究を続けようと努めた．しかし，依然として計画にはとても追いつかなかったと言わざるを得ない.
まとまった時間が取れなくなったことは，研究結果の発表や，情報収集や共同研究に影響が大きかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
まず，感染症がおさまって研究時間を確保できる状況になることを祈る.
研究結果の公開の遅れを取り戻したい．
様々な幾何構造の存在に関する共同研究に関しては，できれば直接に会って議論することによって，進行を加速したい．必要に応じて新しい方法を模索しながら進めていきたい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症のひきつづきの蔓延により，研究機会がおおいに制限を受けた．共同研究や，研究成果の発表などのための旅費を予定していたが，使用機会は多くはなかった.
次年度には，渡航が可能になれば海外の研究者との直接の議論の機会を持ちたい．また周辺分野の活性化のための研究情報の交換の場を企画したい．
オンラインによる研究情報の交換や議論のために必要な設備も整えたい.
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