2017 Fiscal Year Research-status Report

Chern-Simons perturbation theory and its application to topology

Research Project

Project/Area Number	17K05252
Research Institution	Shimane University
Principal Investigator	渡邉忠之島根大学, 総合理工学研究科, 講師 (70467447)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	Chern-Simons摂動理論 / Morseホモトピー / Kontsevich特性類 / 微分同相群 / 有理ホモトピー群 / 局所系 / 有限型不変量
Outline of Annual Research Achievements	１．チャーン・サイモンズ摂動理論の低次元トポロジーへの応用を目指す中で、それが４次元球面の微分同相群の有理ホモトピー群の研究にも応用できることがわかった。４次元以上の球面の微分同相群のコホモロジー類（特性類）が、チャーン・サイモンズ摂動理論における配置空間積分の技術を用いて得られることが、Kontsevichによって１９９２年頃に示されていた。また代表者は以前、Kontsevichの特性類を用いて、4k-1次元球面の微分同相群の有理ホモトピー群の非自明な元を発見していた。今回、４次元球面の場合に同様の問題を考察し、微分同相群の有理ホモトピー群の非自明な元を見つけることができた。代表者による、深谷Morseホモトピーを用いた摂動的不変量の構成、および清水達郎氏によって示されたKontsevich配置空間積分と深谷Morseホモトピー不変量の間の等式は、この度の結果を得るための助けとなった。今回の結果は、研究協力者等と議論しながら慎重に点検していく予定である。２．非自明な平坦接続を持つ３次元多様体のチャーン・サイモンズ摂動理論と有限型不変量の関係について研究を進めた。研究協力者と議論し、非自明な平坦接続の場合の摂動的不変量はZπホモロジー同値に対する有限型不変量を与えることを確認した。松江市において研究集会を共催し、C. Lescop氏から情報提供を受けた。また、マルセイユのCIRMで行われた基本群の表現空間に関する研究集会で得られた情報は、今後の研究において重要になると思われる。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 当初の計画どおりに進んでいないが、当初予期していなかった４次元球面の微分同相群の有理ホモトピー群の非自明性を示すことができた。
Strategy for Future Research Activity	４次元球面の微分同相群の有理ホモトピー群に関する結果を論文にまとめる。非自明な平坦接続を持つ３次元多様体の摂動的不変量を具体的な問題に応用することを目指す。
Causes of Carryover	当初予期していなかった、４次元球面の微分同相群の有理ホモトピー群に関する結果が得られたため、計画を変更した。平成３０年度に計画していた研究を行うため、それに伴う出張を平成３１年度に行う。