2019 Fiscal Year Research-status Report

Chern-Simons perturbation theory and its application to topology

Research Project

Project/Area Number	17K05252
Research Institution	Shimane University
Principal Investigator	渡邉忠之島根大学, 学術研究院理工学系, 講師 (70467447)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2021-03-31
Keywords	微分同相群 / 有理ホモトピー群 / Kontsevich特性類 / Chern-Simons摂動理論 / 局所系 / 擬アイソトピー / 埋め込み
Outline of Annual Research Achievements	引き続き、4次元多様体の微分同相群のホモトピー群に関する研究を進めた。令和元年度は4次元円板以外のより一般の4次元多様体に対して、非自明な微分同相のアイソトピー類を見つけることを目指した。具体的には、その上のある種の局所系がアサイクリックであるような4次元多様体X（例えば、ポアンカレホモロジー3球面と円周の直積など）において、代表者が4次元Smale予想の反証に用いたのと同様のグラフ手術を施すことにより、円周上のXバンドルを構成し、それに対してKontsevich特性類（の局所系に対する類似）を計算し、非自明なものを見つける、という流れである。いくつかの例に対してこの議論がうまくいくことを確認し、その結果を論文にまとめ、arXiv（プレプリントサーバ）に投稿した。この結果は、4次元多様体の微分同相だけでなく、4次元多様体内の余次元1の埋め込みや4次元多様体の擬アイソトピーに関する新しい事実を導く。令和元年度は多数の国内、国外出張によって多くのヒントが得られ、大変有益であった。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 令和元年度に得られた結果は4次元多様体の微分同相の基本的な問題と関わり、進展は大きかったと考える。
Strategy for Future Research Activity	この方向でどこまで行けるかを明確にし、結果をまとめる。当初目標としていた3次元多様体の有限型不変量に対しても同様の枠組みが適用できるはずなので、そちらも推進する。
Causes of Carryover	10月の台風によりカナダ出張がキャンセルとなったのと、2月以降の出張が新型コロナウイルスの影響により全てなくなったため、次年度使用額が生じた。次年度は延期となった国内、国外の出張を予定しており、そのために使用する。