2021 Fiscal Year Research-status Report
Chern-Simons perturbation theory and its application to topology
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17K05252
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
渡邉 忠之 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70467447)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 有限型不変量 / Chern-Simons摂動理論 / 局所系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和3年度は、アサイクリックな局所系を持つ3次元多様体で、特に有限の基本群を持つもの（例えば、Poincareホモロジー球面、レンズ空間など）に対して、同変有限型不変量の構造を研究した。代表者は前年度までに、2ループグラフに対するChern-Simons摂動理論の方法が4次元多様体の非自明な微分同相をdetectするのに使えることを観察していたが、その中で使われた不変量と非自明な元の構成の手法は、3次元多様体に対しても適用できる。3次元多様体に対する不変量の構成方法は、本質的にはKontsevich, Bott-Cattaneoによる。元の構成は葉廣氏による。3次元多様体の場合は、2ループグラフの不変量は局所系にも依存するという意味でCasson不変量の精密化を与えると期待される。ただし、3次元多様体の場合に不変量の値が（Casson不変量をmoduloにして）非自明となることは、不変量が値をとる空間である2ループグラフの空間の非自明性によっており、そこの確認が必要であった。令和3年度は、太田勇士氏（島根大学）との共同研究において、Poincareホモロジー球面、レンズ空間に対する2ループグラフの空間を調べ、その次元を求めた。特に、その次元がかなり大きくなりうることを確かめた。有限な基本群の場合には群環が有限次元であり、グラフの空間の次元の計算は本質的に表現の指標の計算である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初の目標である、無限基本群を持つ3次元多様体に対する有限型不変量の研究が進んでいないため。ただし、有限基本群の場合には結果を得ることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
無限基本群を直接扱うのは難しいので、まずは有限基本群の場合にreduceすることにより、非自明な情報を取り出すという方向で進める。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染流行のため、ほとんどの出張が中止となったため。
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