2022 Fiscal Year Research-status Report
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17K05253
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
鳥居 猛 岡山大学, 自然科学学域, 教授 (30341407)
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2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 安定ホモトピー論 / クロマティックホモトピー論 / 無限大圏 / モノイダル圏 / ラックスモノイダル関手 / オペラッド / Morava E理論オペラッド / 表現のモジュライ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
クロマティックホモトピー論にあらわれるHopf亜代数やその上の余加群の圏を無限大圏に持ち上げることを動機として、デュオイダル無限大圏や高次モノイダル無限大圏について研究を行い、以下の成果を得た。
・任意の無限大オペラッドに対して、モノイダル圏とラックスモノイダル関手のなす無限大圏と、モノイダル圏と双対ラックスモノイダル関手のなす無限大圏との間に双対同値が成り立つ。この結果はHaugseng-Hebestreit-Linskens-Nuitenにより、(∞,2)圏のレベルで同値が証明されているが、(∞,1)圏のレベルでの別証明を、二つの無限大圏の間の完全ペアリングを構成することにより示した。また、この結果をまとめた論文を雑誌に投稿した。
・モノイダル圏とラックスモノイダル関手のなす無限大圏と、モノイダル圏と双対ラックスモノイダル関手のなす無限大圏との間の双対同値の空間について考察した。モノイダル圏の前層のなす圏には、Day畳み込み積によりモノイダル構造が誘導される。上記の双対同値だけではなく前層のなす圏へのモノイダル米田埋め込みの情報を加えた空間を考えると、その空間が可縮となることを示した。このことより、特に、Haugseng-Hebestreit-Linskens-Nuitenの構成した同値を(∞,1)圏に制限したものと、完全ペアリングを用いて構成した同値が同値になることがわかった。また、この結果をプレプリントにまとめた。
・適当な仮定のもと、無限大オペラッドとその上の代数に対して、その上の加群の無限大圏には、無限大オペラッド上のモノイダル構造が入る。これを拡張し、２つの無限大オペラッド上の代数を考え、その上の加群の無限大圏に２つの無限大オペラッド上のデュオイダル構造が入ることを示した。また、この結果をプレプリントにまとめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
デュオイダル圏や高次モノイダル圏の無限大圏への一般化については一定の成果が得られている。しかし、安定ホモトピー圏の大域的構造やMorava K理論で局所化された安定ホモトピー圏の間の関係への応用については、研究を継続しているがまだ具体的な結果が得られるまでには至っていない。このことが現在までの進捗状況はやや遅れていると判断する理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
具体的な状況に理論を適用する研究を継続する。余加群モデルおよびMorava安定化群の作用をもつ離散スペクトラムモデルを用いて、異なる高さをもつMorava K理論で局所化された安定ホモトピー圏の間の関係について研究を継続する。
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| Causes of Carryover |
2022年度は状況が改善したとはいえ、まだコロナ禍であったため、出席を予定していた研究集会が中止となったり、オンラインでの開催に変更になったため、旅費として予定していた額を使用できなかったことが主な理由である。次年度の使用計画としては、国内の研究集会の開催や参加、共同研究のための打合せに主に使用する予定である。
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