2023 Fiscal Year Annual Research Report
Problems on mathematical physics related to quantum optics
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17K05272
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| Research Institution | Komatsu University |
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Principal Investigator |
田村 博志 公立小松大学, 生産システム科学部, 教授 (80188440)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 関数解析学 / 開放系の量子力学 / マスター方程式 / 完全正写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
量子光学は、電磁場と物質、熱浴との相互作用を扱う分野であるといえる。場の量子論で記述される本来の電磁場と物質との相互作用は紫外発散などの困難のため、数学的な取り扱いが困難である。そこで、まず電磁場を量子場という形式を保ちながら取り扱いが易しいもの（非線形電磁場）に置き換え、スカラー場で記述される物質に対する作用を考え、物質の運動に関わるpropagator の空間遠方における挙動が強い減衰性を持つことを示した。これは、電荷の閉じ込めに関係する特徴である。ここでは、ブラウン運動による経路積分表示にマルチンゲールによる評価を組み合わせた方法を用いた。（備考論文１）
次に、電磁場を単色光に限ることにして調和振動子で代用し、それと無限成分スピンが熱浴中にある系を考えた。調和振動子とスピンの状態を表す密度行列に作用する作用素間の交換関係を用いることにより、GKSLD 型のマスター方程式で記述される密度行列の時間発展が完全正であること、同期現象を記述できることなどを示した。（備考論文２）
また、量子光学に限らず一般的に GKSLD 型の理論で開放系を扱う場合の数学的モデルの基本となるのは、２体相互作用をする boson 系や Fermion 系だが、それらにおける密度行列に作用する作用素の代数にアフィン変換群の構造を見ることができ、それを使うと系の解析が明瞭になることを示した。備考web論文では、Ferumion 系がゲージ不変な相互作用をする場合について詳細に解説した。
さらに、Boson 系の GKSLD 型の理論は、時間発展の生成元が非有界作用素となるため、その密度行列への作用が完全正であることは自明でない。これを、Fock 空間上の関連する極大減衰作用素によって生成される半群の不変部分空間としてフレシェ空間がとれることを用いて示した。（論文執筆中）
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| Remarks |
(1)J. Math. Phys., vol.59,042301(2018) DOI/10.1063/1.4996880
(2)Open Systems and Information Dynamics {\bf 27}(3), 2050012(2020) DOI/10.1142/S1230161220500122
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