2019 Fiscal Year Research-status Report
Study on random partitions and random matrices based on combinatorics and representation theory
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17K05281
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
松本 詔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60547553)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 対称群 / ランダムヤング図形 / ランダム分割 / 極限形 / 射影表現 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は、ランダム行列とランダム分割、およびそれらに関連した問題に対し、組合せ論および表現論の視点に基づいた研究を行うことを目的としている。平成30年度は Piotr Sniady と共同研究を開始し、最初の結果としてStanleyの指標公式の射影版を得ることができた。令和元年度はその続編として、ランダム・ストリクト分割/シフト・ヤング図形/シフト・ヤング盤に関する様々な結果を得ることができた。
ランダム・ヤング図形の研究は、 Biane による大数の法則が代表的である。対称群の与えられた可約線形表現に付随するヤング図形の増大列が、approximate factorization property (AFP) を満たすとき、ヤング図形の増大列の極限形の存在が保証される。我々はこの Biane の結果の「射影版」を得た。すなわち、対称群の可約射影表現に付随するシフト・ヤング図形の増大列を扱った。
もう一つの結果は中心極限定理である。２種類の結果を得た。一つはシフト・ヤング図形の増大列に対し、対応する射影既約指標の正規化が正規分布にしたがう、というものである。もう一つは、ヤング図形自身の形の、極限形の周りの揺らぎが正規分布にしたがう、というものである。線形表現の場合は Sniady により以前得られており、今回の我々の結果はそれの「射影版」に当たる。
今回の研究での基本的な道具は、前年度の研究で明らかになった対称群の射影既約指標と線形既約指標との関係である。これにより線形の場合と同等の主張が「射影版」でも成り立つことが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Piotr Sniadyとの共同研究により、本研究課題は大幅に進展した。前年度の報告書において、今後の研究の推進方策として「射影指標の漸近挙動やランダム・シフトヤング盤の研究を続ける」と記載したが、まさに望んだ通りの研究を進展させることができた。論文共著者の Sniady の過去の結果を、私のこれまでの射影表現の研究結果と合成して完成することができた。ただし、いくつかの不満点もある。ランダムヤング図形の極限形は、自由キュムラントを用いて記述されるが、具体的な関数の形まで帰着させることが困難であった。ある程度 implicit な記述になってしまったのが残念である。
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| Strategy for Future Research Activity |
２年前に行なった、スピンKerov多項式の問題がまだ残っている。スピンKerov多項式の存在は示したが、その具体的な係数の記述など、まだまだ課題は多い。ただし、以前より射影表現とその確率論的な側面の理解が増したので、改めてその問題に取り組みたい。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額は2018年度の分からの繰越額があった。新型コロナウイルスの影響で、令和２年3月に参加する予定であったいくつかの研究集会が中止になり、旅費の使用額が予定より少なくなった。
令和２年度は、確率論関係の国内出張を３件、日本数学会への参加が２回、さらに組合せ論・表現論関係の国内出張を３件、その他研究打ち合わせを数件予定している。しかしながら、新型コロナウイルスの影響で既にいくつかの研究集会の延期が決まっているため、使用の計画は不透明である。
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