2020 Fiscal Year Research-status Report

Study on random partitions and random matrices based on combinatorics and representation theory

Research Project

Project/Area Number	17K05281
Research Institution	Kagoshima University
Principal Investigator	松本詔鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60547553)
Project Period (FY)	2017-04-01 – 2022-03-31
Keywords	対称群 / ヤング図形 / ランダムヤング図形 / ランダム分割 / 極限形 / 射影表現
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題は、ランダム行列とランダム分割、およびそれらに関連した問題に対し、組合せ論および表現論の視点に基づいた研究を行うことを目的としている。令和元年度までの数年間で、Piotr Sniady との共同研究により、対称群の射影表現の指標に対するStanley指標公式や、それを利用したランダム・シフト・ヤング図形やランダム・シフト・ヤング盤に関する大数の法則および中心極限定理を得ていたのだった。令和２年度は、引き続きPiotr Sniadyとの共同研究を行い、対称群の正規化指標に関する新たな性質を発見した。すなわち、共役類が１行ヤング図形で、表現が正方形ヤング図形に対応しているときの正規化線形指標が、ある綺麗な積の形で表せられることを発見した。これは正方形ヤング図形の一辺の長さpを変数とする多項式で、１次式に分解される。特に主要項は、これまでの対称群の漸近的表現論で得られた、ヤング図形の自由キュムラントを通じて得られる。また正方形に限らない長方形、つまり縦と横の長さが少しだけ違うヤング図形の場合も、似た公式を発見することができた。多項式の根は、古典的な既約指標の性質から分かる「自明な根」と、現時点では由来が不明な「非自明な根」が観測されている。「非自明な根」がどのような表現の性質に由来しているかを理解することが今後の課題であろう。これらの結果はまだ論文にはまとめていないが、研究集会での発表は既に済んでいる。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason Piotr Sniadyとの共同研究により、本研究課題は大幅に進展している。ただ、新型コロナウイルス感染拡大の影響で、共同研究者と共に十分な研究時間の確保ができていないように感じる。
Strategy for Future Research Activity	上の実績で述べた内容はまだ研究途中である。令和3年度の早い時期に論文を完成させるだろう。また、本研究課題は、令和３年度が最終年度である。概ね目標は達成されつつあるが、最後まで新たな発見を模索していきたい。
Causes of Carryover	直接経費の主な使用予定は研究集会参加や研究打合せのための旅費であったが、新型コロナウイルス感染拡大のため、全く旅行は行われなかった。旅行可能な状況になり対面による研究集会が再開されれば、旅費を中心に使用する。