2021 Fiscal Year Research-status Report
Study on random partitions and random matrices based on combinatorics and representation theory
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17K05281
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
松本 詔 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (60547553)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 対称群 / ヤング図形 / 既約指標 / ランダム行列 / Weingarten calculus |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題は、ランダム行列とランダム分割、およびそれらに関連した問題に対し、組合せ論および表現論の視点に基づいた研究を行うことを目的としている。令和元年度までの数年間で、Piotr Sniady との共同研究により、対称群の射影表現の指標に対するStanley指標公式や、それを利用したランダム・シフト・ヤング図形やランダム・シフト・ヤング盤に関する大数の法則および中心極限定理を得ていたのだった。さらに令和2年度から引き続きPiotr Sniadyとの共同研究を行い、対称群の正規化指標に関する新たな知見を得た。2年度の段階で、共役類が１行ヤング図形で、表現が正方形ヤング図形に対応しているときの正規化線形指標が、ある綺麗な積の形で表せられることを発見していた。今年度はさらに深い洞察を得ており、表現がより一般の長方形ヤング図形の場合に拡張し、証明を与えることができた。これは次のような考え方により成し遂げることができた。長方形ヤング図形を縦の長さがe-d、横の長さがe+dとして見る。このとき対応する正規化指標はe,dの多項式となるのだが、その形を明示的に書き下すことができた。
対称群の指標は古くから研究されているが、指標値を一般に明示的に記述する方法はない。今回の研究は、「共役類が１行ヤング図形」かつ「表現が長方形ヤング図形」という特殊な場合であるが、これまでにない新しいタイプの明示公式を与えたところに大きな意義がある。これらの内容を記した論文が投稿中である。
それとは別に、Jonathan NovakとBenoit Collins との共同執筆として、Weingarten calculus に関する入門的文書を書いた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
Piotr Sniadyとの共同研究により、本研究課題は十分に進展している。ただ、新型コロナウイルス感染拡大の影響で、共同研究者と共に十分な研究時間の確保ができていないように感じる。実際、この２年間は一度も出張ができていないため、研究者間の交流が不十分である。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題は1年の延長を申請した。新型コロナウイルスの感染拡大が収まれば、国内を中心に出張を繰り返し、共同研究をさらに進める予定である。また、具体的な進展は少ないが、現在進行中のランダム行列の共同研究についても結果をまとめる予定である。
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| Causes of Carryover |
直接経費の主な使用予定は研究集会参加や研究打合せのための旅費であったが、新型コロナウイルス感染拡大のため、全く旅行は行われなかった。旅行可能な状況になり対面による研究集会が再開されれば、旅費を中心に使用する。
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