2019 Fiscal Year Research-status Report
分割型積分を含む非線形積分の収束定理の摂動法による統一的解析
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17K05293
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
河邊 淳 信州大学, 学術研究院工学系, 教授 (50186136)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 非加法的測度 / 非線形積分 / 積分汎関数 / 摂動性 / 収束定理 / ショケ積分 / 分布型積分 / 分割型積分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和元年度は以下の研究を行った．
１．非線形積分のなかでも特に重要なショケ積分の収束定理に関しては，従来は被積分関数列が概収束する場合と測度収束する場合に対して，非加法的測度が有限という制限のもとで，優収束定理が成立するための十分条件しか知られていなかった．また，非加法的測度の双対測度に関する収束性に関する研究結果も皆無であった．この研究では，被積分関数列が測度収束する場合について再検討し，有限とは限らない非加法的測度に対する新たな特性として，条件自己連続性の概念を導入し，測度収束関数列に対して優収束定理が成立するために非加法的測度に課すべき必要十分条件は条件自己連続性であることを示した．さらに，双対測度に対して優収束定理が成立するための必要十分条件も得られた．これらの結果により，優収束定理の適用範囲（十分条件）が格段に広がり，その適用限界（必要条件）も厳密に把握できるようになった．
２．可算加法的な有限測度に対しては，測度収束する関数列のp乗関数列(0<p<∞)も測度収束する．それゆえ，測度収束する関数列の抽象ルベーグ積分の有界収束定理やビタリの収束定理などの様々な収束定理から，p乗関数列の収束定理が自動的に得られる．しかし，非加法的の場合には，それが劣加法性などの非常に強い擬加法的性質を満たしていても，一般には元の関数列が測度収束したからといって，そのp乗関数列が測度収束するとは限らない．この研究では，積分汎関数の諸性質が冪乗演算に対して頑健性をもつことを利用して，われわれが推進してきた非線形積分の収束定理に対する統一的理論展開の手法を継承したまま，p乗関数列の収束定理をすでに得られた研究結果の応用として導く方法論を提示した．これにより，測度収束する関数列のp次モーメントの収束定理が容易に取り扱えるようになった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分布型非線形積分の収束定理の研究については，論文「Convergence in measure theorems of the Choquet integral revisited」にまとめ，Springer社が発行しているLecture Notes in Artificial Intelligenceに公表した．
今までほとんど議論されてこなかった測度収束する関数列のp次モーメントの収束定理に関しては，積分汎関数の諸性質の冪乗演算に対する頑健性を利用して議論する方法論を見出し，得られた結果の一部を論文「Convergence in measure theorems of nonlinear integrals of functions integrable to the pth power」にまとめ，国際雑誌Fuzzy Sets and Systemsに公表した（印刷中）．
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| Strategy for Future Research Activity |
本来の研究期間は2017年度～2019年度の3年間であったが，研究の最終段階に予定していた九州地区の研究者との研究打合せ（p次モーメントの収束定理の応用としての関数空間の完備性や分割型積分の収束定理に関する最新の研究成果に関する意見交換）が，新型コロナウィルスの蔓延にともない2020年度に延期された．そこで，この延期された研究打ち合わせを実施して，今後の研究の方向性に関する指針を探る．
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| Causes of Carryover |
本来の研究期間は2017年度～2019年度の3年間であったが，研究の最終段階に予定していた九州地区の研究者との研究打合せ（p次モーメントの収束定理の応用としての関数空間の完備性や分割型積分の収束定理に関する最新の研究成果に関する意見交換）が，新型コロナウィルスの蔓延にともない2020年度に延期されたので，この研究打ち合わせを実施するために使用する．
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| Remarks |
信州大学学術情報オンラインシステムSOAR
http://soar-rd.shinshu-u.ac.jp/profile/ja.jaAaZVkh.html
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