分割型積分を含む非線形積分の収束定理の摂動法による統一的解析

2020 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K05293
• Research Institution: Shinshu University
• Principal Investigator: 河邊 淳 信州大学, 学術研究院工学系, 教授 (50186136)
• Project Period (FY): 2017-04-01 – 2022-03-31
• Keywords: 非加法的測度 / 非線形積分 / 積分汎関数 / 摂動性 / 積分汎関数の収束定理 / Choquet積分 / 分布型積分 / 分割型積分

Outline of Annual Research Achievements

2020年度は，本来の研究期間（2017年度～2019年度）中に得られた結果を再度見直し，非加法的測度論における代表的な非線形積分であるChoquet積分の収束定理の軽微な拡張や証明の単純化などを行った．具体的には下記の考察を行った．
１．Choquet積分の平均収束定理について考察し，非加法的測度が零加法的かつ性質(S)を満たすときは優平均測度収束定理が，零加法的かつ強順序連続ならば優平均概収束定理が成立することを示した．応用として，Vitali型の平均測度収束定理と有界平均測度収束定理を導いた．
２．概一様収束する被積分関数列に対してChoquet積分の収束定理を考察し，単調増加/減少収束定理，Fatou/逆Fatouの補題，優収束定理，Vitaliの収束定理，有界収束定理が成立するために非加法的測度に課すべき特性を確立した．さらに，同様の議論を双対測度の場合にも展開し，得られた収束定理を対称及び反対称Choquet積分の場合に拡張した．
３．測度収束，強測度収束，平均収束する被積分関数列に対して有界収束定理が成立するための必要十分条件は，いずれの場合も非加法的測度の自己連続性であることを示した．
４．Sipos積分の摂動性の従来の証明を見直すことにより，分かり易く見通しのよい証明となるように単純化した．
上記の考察に加え，新型コロナウイルスの蔓延が収束したのちに開催されるであろう国内外の学会や研究打合せのための準備として，それらの学会で使用するスライドやレジメなどの資料作りを行った．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

新型コロナウイルスの蔓延のため，予定していた九州地区の研究者との対面による研究打合せは実施できなかったが，本来の研究期間（2017年度～2019年度）中に得られた定理の軽微な拡張や証明の単純化などを行うことにり，それらの結果を補強した．また，新たに平均収束定理や概一様収束定理についても考察した．さらに，新型コロナウイルス感染症の収束後に開催されるであろう国内外の学会や研究打合せのための準備として，それらの学会で使用するスライドやレジメなどの資料作りも行った．

Strategy for Future Research Activity

研究の最終段階で予定していた九州地区の研究者との研究打合せを対面で実施し，今後の研究の方向性に関する指針を定める．

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの蔓延により，研究計画で予定していた九州地区の研究者との対面による研究打合せが実施できなかったため次年度使用額が生じた．繰り越した研究費は2021年度に同じ目的で使用する．

Remarks

信州大学学術情報オンラインシステムSOAR
http://soar-rd.shinshu-u.ac.jp/profile/ja.jaAaZVkh.html