2018 Fiscal Year Research-status Report
A study of Levy type processes via Dirichlet forms
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17K05309
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| Research Institution | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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Principal Investigator |
土田 兼治 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 准教授 (80466523)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | マルコフ過程 / レヴィ過程 / 大偏差原理 / シュレディンガー作用素 / 臨界性 / 相対論的安定過程 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
再帰的な相対論的安定過程の臨界性についてファインマン-カッツ汎関数の可積分性と関連付けて議論した。特に、このマルコフ過程の生成作用素とポテンシャルをグリーン緊密的加藤クラスにした場合のシュレディンガー作用素に関する調和関数を構成することに成功した。また、ポテンシャルのサポートがコンパクトである場合には、その正の調和関数が正の定数よりも一様に大きいことを示すことができ、このことからこの場合におけるスペクトル関数の微分可能性が示されることが期待される。
桑江一洋氏との共同研究において、二種類のグリーン緊密的な加藤クラスの同値性を証明し、竹田雅好氏によって証明されたマルコフ半群のコンパクト性とあるコンパクト埋め込み定理を拡張することができた。これまでは基礎となるマルコフ過程に既約性とレゾルベント強フェラー性を仮定して議論されていたが、グリーン緊密的な加藤クラスの同値性に関しては対称特別標準過程という一般的な枠組みの中で証明し、コンパクト性についてはレゾルベント強フェラーよりも弱い条件である、マルコフ推移関数が基礎となる測度に関して絶対連続であるという条件のもとで証明した。つまり、本研究課題であるレヴィ型過程の範疇でコンパクト性が成り立つことが証明され、この研究を基礎として前年度までに行ってきた加法的汎関数の大偏差原理をかなり一般的な設定のもと、さらにこれまでに考えてこなかった種類の加法的汎関数に関しても証明できると期待される。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究テーマである対称レヴィ型過程を含むような一般的な対称マルコフ過程において、ディリクレ形式理論を用いてマルコフ半群のコンパクト性、二種類のグリーン緊密的な加藤クラスの同値性を証明することができた。本来はレヴィ型過程だけを対象としていたが、ディリクレ形式理論の範疇ではさらに一般化できることがわかり、予想よりもいい結果を得ることができた。前年度までの埋め込みのコンパクト性の研究では、レヴィ型過程でレヴィ核にある種の条件が必要であったが、今年度の研究においてはレヴィ過程だけではなく一般のマルコフ過程に関してコンパクト性を拡張することができた。さらに、本研究によって初めて考察することが可能となる、拡散過程とジャンプ過程の両方の例を構成することができ、シュレディンガー作用素に対する加藤クラスの意義をある意味で特徴付けることに成功した。
再帰的な相対論的安定過程に対する臨界性の研究についてはその内容をまとめて論文にし雑誌に投稿した。そのとき、査読者の指摘により気づかなかった部分を埋めることができ、ファインマン-カッツ汎関数の可積分性と関連づけることによりさらに見通しのよい結果となったのが予想以上であった。特に、局所的に調和な関数を構成するのはコンパクト性を用いるが、それを全体に拡張する際にファインマン-カッツ汎関数の可積分性と対応するディリクレ形式の下からの評価が必要となる点を明確にすることができた。その後その雑誌から採録が決定された。
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| Strategy for Future Research Activity |
一つ目は再帰的レヴィ型過程と非局所的ポテンシャルをもつシュレディンガー作用素の臨界性について研究していく。再帰的なマルコフ過程に関するシュレディンガー作用素の臨界性の研究、さらに非局所的、つまりジャンプ型ファインマン-カッツ半群に対するシュレディンガー作用素の臨界性の研究はほとんどない。非局所的ポテンシャルの場合はギルサノフ変換を通じて局所的ポテンシャルに変換して議論を行うことが標準的であり、そのため変換前後の作用素の挙動を調べることが必要となる。また、現在までこれに関連する研究では、対称安定過程、相対論的安定過程の二つしか行っていなかったが、今後はさらに広いクラスの再帰的対称レヴィ型過程に関してそのシュレディンガー作用素の臨界性を研究していく。
二つ目は加法的汎関数の大偏差原理について、これまでは滑らかな測度から生成される連続加法的汎関数と二変数の関数から生成されるマルコフ過程がジャンプしたときだけ変動する純不連続加法的汎関数の大偏差原理だけを扱ってきたが、それに加えて、ディリクレ形式理論で福島分解において現れるエネルギーゼロの加法的汎関数の大偏差原理を研究していく。この加法的汎関数は有界変動ではない加法的汎関数であり、これに関するファインマン-カッツ半群についての研究がいくつかあり、それらと私がこれまで行ってきた研究を用いて研究を推進していくことになる。さらに、この研究において新しく加わる例を構成していく。
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| Causes of Carryover |
研究集会「マルコフ過程とその周辺」を開催したが、予想よりも旅費の支出が少なかった。出張に関しても先方負担が予想以上に多く、旅費が少なくなった。書籍を購入したが、予想よりも価格が安く余剰が出た。
次年度は、これまで得られた研究結果を発表するため研究集会に参加するので、そのために旅費を使用する。また、例年開催されている研究集会「マルコフ過程とその周辺」も行うのでそのために旅費を支出する。
物品費としては、次年度より幾何学についての知見を深め本研究に役立てようと考えているため、そのための書籍代として物品費を用いる。
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