2020 Fiscal Year Research-status Report
Nonlinear microlocal analysis for the Boltzmann equation
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17K05318
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森本 芳則 京都大学, 人間・環境学研究科, 名誉教授 (30115646)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
清水 扇丈 京都大学, 人間・環境学研究科, 教授 (50273165)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | ボルツマン方程式 / 非切断型 / 指数型フーリエ演算子 / 対数オーダー積分型演算子 / Debye-湯川型ポテンシャル / 初期値問題 / 平滑効果 / 空間非一様 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
切断近似をしないボルツマン方程式に対する初期値問題の解の平滑化と時間大域解の構造について研究を進めた。特に、ボルツマン方程式の特異極限として得られるランダウ方程式の解析的平滑効果の証明で威力を発揮した、指数タイプ（exp）積分型フーリエ乗法演算子の対数版を用いて、空間非一様なボルツマン方程式に対する初期値問題の解のC無限-平滑化の証明を試みた。元の指数タイプ積分型フーリエ乗法演算子は、doubling 条件と呼ばれる調和解析の標準的な尺度関数の良い性質を満たさない困難さがあったが、対数版の方は、doubling 条件を満たしていて、構造が複雑なボルツマン非線形項の処理にも都合が良いと考えられる。ボルツマン方程式の大域的平衡解の摂動がGauss 関数の平方根以上の減衰をしていて、初期摂動が空間変数 x に関する2階導関数まで x、v に関する2乗可積分関数として十分小ならば、摂動は時間正で瞬時に空間変数 x と速度変数 v に関してC無限関数となることを示すことが当初の目標であったが、非線形項の処理が未解決のため現在のところ線形化方程式に対する部分的な結果にとどまっている。2粒子間の相互作用が逆べきポテンシャルに従う標準的な非切断型衝突項をもつボルツマン方程式の場合についても、空間非一様な初期値問題の解のC無限-平滑化は未解決問題であるが、対数版の指数タイプ（exp）積分型フーリエ乗法演算子を用いた方法は、Debye-湯川型ポテンシャルから導出される、対数オーダーの弱い楕円性しかもたない衝突積分項に対しても有効と思われる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
新型コロナウイルスの感染拡大により、対面による国際共同研究は実施ができなかったが、ズーム等による討論で補っている。また、本研究課題の当初目標とした基幹部分については、すでに結果が得られている。
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| Strategy for Future Research Activity |
共同研究者との共同研究の遂行には、大きな困難が生じているがズームなどのインターネットによる代用でしばらくは研究を継続する。国内外の感染の終息を待って研究発表と新たな共同研究の機会を模索する。
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| Causes of Carryover |
外国人共同研究者である香港城市大学のTong Yang 教授、南京航空航天大学教授のChao-Jiang教授との共同研究を現地で行うことを予定していたが、新型コロナウイルス感染拡大により計画を断念せざるを得なかった。国内の感染状況の好転を待って国内における研究発表と研究討論を行う予定である。
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