2018 Fiscal Year Research-status Report
総体積保存則に拘束される偏微分方程式と発展方程式による抽象論的接近
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17K05321
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| Research Institution | Kyoto University of Education |
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Principal Investigator |
深尾 武史 京都教育大学, 教育学部, 教授 (00390469)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
愛木 豊彦 日本女子大学, 理学部, 教授 (90231745)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 発展方程式 / 非線形偏微分方程式 / 動的境界条件 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はCahn-Hilliard方程式系において、化学ポテンシャルの方程式の単調非線形項以外を近似項と見なし、極限操作によって退化放物型方程式への接近を試みた。
Cahn-Hilliard方程式系は相変数と化学ポテンシャルの連立系であり、化学ポテンシャルの主方程式は非線形項を含む楕円型方程式となっている。より詳しく、拡散項、非線形単調項、非単調項、外力からなる。これらのうち拡散項と非単調項を近似項と見なし、これらの項を近似変数と共に消滅させることで、形式的に退化放物型方程式など、相変数に対する非線形単調項を拡散項に持つ偏微分方程式に接近することが期待できる。これを様々な境界条件下、時間微分を弱いクラスで捉える弱解の枠組みで可解性を議論した。また、近似方程式と極限の方程式の差から、一様評価を応用することで誤差評価に関する結果を得た。
力学的・動的境界条件の下でも同様に退化放物型方程式の可解性が議論できるが、一方で抽象発展方程式による可解性の議論も可能である。単調項に対する増大条件を課すことで既存の抽象理論を可解性の議論に応用できることを示した。既存の発展方程式の抽象理論においては関数空間として時間微分が入る適切な共役空間に選び、単調項に対する増大条件を利用して凸関数の下半連続性を導出することで、凸関数の劣微分に支配される発展方程式の抽象理論を応用することができる。増大条件がこの種の取り扱いに重要な仮定となることがあらためて明らかになった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
力学的・動的境界条件下のCahn-Hilliard方程式に対する適切性の議論を通じて、新たな「退化放物型方程式への接近に関する手法」が見つかった点が研究成果として十分に評価でき、研究計画全体として順調に進展していると評価できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の推進方策として、これまでに築き上げた手法を、力学的・動的境界条件の下でのCahn-Hilliard方程式系や、Allen-Cahn方程式系の適切性の証明へ応用を試みる。
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| Causes of Carryover |
当初、計画していた以上に旅費の使用が必要になり、謝金の発生を抑え微調整したため。翌年度の謝金及び旅費として微調整分を使用する。
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