2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K05325
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Research Institution | The University of Tokyo |
Principal Investigator |
伊藤 健一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90512509)
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Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
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Keywords | 数理物理 / 偏微分方程式論 / 差分作用素 / シュレーディンガー方程式 / 閾値レゾナンス / スペクトル理論 |
Outline of Annual Research Achievements |
1. 離散Laplace作用素のレゾルベントの漸近展開 低次元正方格子上の離散Laplace作用素に対し,そのレゾルベントの閾値周りでの漸近展開を計算した.またその副産物として,低次元正方格子上の離散Laplace作用素に対する基本解の具体的表示を得た.証明には,まず,一般次元正方格子上の離散Laplace作用素のレゾルベントを,スペクトルを囲む円板の外側でC型Appell-Lauricella超幾何関数を用いて表示した.そして,低次元の場合,この超幾何関数が一般化超幾何関数や通常の超幾何関数に帰着できることを利用して,既存の変換公式から求める漸近展開を計算した.自由レゾルベントの閾値周りでの漸近展開はSchrodinger作用素の閾値共鳴を解析するための重要な予備段階であり,近い将来に応用が期待される.また離散Laplace作用素の基本解の具体形は理論上の意味で興味深いものと考えられる. 2. Schrodinger作用素に対する最良形の放射条件評価 まだ中途の段階ではあるが,Euclid空間上のSchrodinger作用素に対する放射条件評価を最良の形で得ることに成功した.証明は,一見技巧的ではあるが,これまでの研究で得られた交換子評価法をさらに精密化することにより行われる.放射条件評価は定常的散乱理論の構成に重要な役割を果たしており,この精密化により定常的散乱理論が大きく簡略化されることが期待される.また,この証明に用いられた議論自体も一般化固有関数やレゾルベントの性質のある種の本質を捉えていると考えられ,いくらかの応用が期待される.これらについて次年度以降に研究を進める予定である.
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
離散Laplace作用素のレゾルベントの漸近展開については,これまで未解決であった問題に対し,一つの新しい方針を提示できたという意味で研究に新規性が認められる.また,Schrodinger作用素に対する最良形の放射条件評価については,研究代表者がこれまでに開発した手法をさらに精密化することで,本質的な進展が得られたと考えている.これらのことから研究はおおむね順調に進展していると判断される.
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Strategy for Future Research Activity |
得られた研究結果の応用を進めながら,同時に研究実施計画に記載された内容についても研究を進めていく予定である.
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Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症(COVID-19)の影響により年度末における予算執行が困難となった.次年度には必要物品の購入に充てる予定である.
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Research Products
(13 results)