2017 Fiscal Year Research-status Report
非線形拡散反応系における漸近展開法の開発とその応用
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17K05334
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| Research Institution | University of Miyazaki |
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Principal Investigator |
辻川 亨 宮崎大学, 工学部, 教授 (10258288)
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2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | differential equation / bifurcation / singular perturbation |
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| Outline of Annual Research Achievements |
自然界で観察される時間・空間パターンの幾つかは反応拡散法方程式によって記述されると考えられている。本研究では走化性を記述する移流と拡散の特徴を持つ生物のパターン形成のメカニズムを、走化性モデル方程式の周期解を含めた定常解の存在およびその安定を示すことで解明する。特に、反応拡散方程式の定常解のパラメータ依存による大域的な構造に注目する。一般に示すことは困難さがあり、方程式の拡散と移流係数を無限大にしたある種の極限系（縮約系）から解析を始めた。得られた系の定常問題は積分条件付きのスカラー楕円型方程式である。ロジスティック増殖については結果を得ているので今回は双安定増殖の場合について考察する。１次元有界区間そしてNewmann境界条件のもと、すでにスカラー方程式の拡散係数をパラメータとした大域的解構造は分岐理論により十分に解析されている。そこで、Levelset解析と特異摂動法により、積分制約条件を調べることができた。拡散係数と系がもつある種の（エネルギー）量をパラメータ空間としたとき、ほとんどの場合解集合が２つの解（定数解と特異解および、２つの特異解）を結ぶ単純曲線で表示されることを示した。
金属触媒反応モデルにおいて、定常解の大域的解構造の解析を継続している。その構造についてはパラメータ依存性があり定数解からの分岐解と境界層または内部遷移層をもつ特異解が解曲線で結ばれている。しかし特別な場合として、定数解から分岐した解曲線が２次分岐を起こしていることが数値計算により予想されている。この問題を解決するのは非線形の複雑さにより容易ではない。そこで、構造が類似の単純なモデルを提案して、２次分岐現象の解析を行った。解析方法は分岐理論、Levelset解析であるが、モデルの非線形項の形から解が楕円関数で解表示されることを用いた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
走化性モデル方程式の縮約系は積分制約条件付きの単安定スカラー方程式である。この方程式について、定常解の大域的解構造はほとんどの場合２つの特別な解（定数解、境界層をもつ特異解）を結ぶ曲線として、あるパラメータ平面上に表示される。しかし、それ以外の大域的解構造が起こりうるかについては未解決である。また、Crandall-Rabinowiz理論により定数解から分岐した解についてその分岐方向を解析することで、定数解近くの分岐解の安定性を示すことができた。しかし、すべての定常解の安定性についても示す問題が残されている。
非局所項を持つAllen-Cahn型の方程式について、1次元でNewman境界条件のもと定数解から（１次）分岐した非定数定常解は方程式の対称性から拡散係数をパラメータとして、拡散係数を０まで表示することができる。また、その解は空間変数に関して対称な解（奇関数）であり、特定の拡散係数の値で非対称な解が（２次）分岐することを、Morseの補題がなり立つことを用いて示した。また、楕円関数および完全楕円積分による解表示を用いることで、このような２次分岐点がただ１つ存在することも示すことができた。しかし、２次分岐の方向および分岐した解の大域的解構造については解明できていない。また、１次分岐定常解の安定性も議論する必要がある。本来の金属触媒反応モデルについて、定数解からの１次分岐が起きていることはすでに証明している。しかし、２次分岐が起きていることを数値計算で求めているが、これについては非線形項が複雑であり解を楕円関数などで表示できないということから解析には至っていない。一方、細胞極性モデルについても数値的に分岐解の安定を示しているのみで、理論解析は進んでいない。
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| Strategy for Future Research Activity |
走化性モデル方程式の縮約系である積分制約条件付き単安定スカラー方程式について、定常解の大域的解構造を決定するために、ある種のエネルギー量が十分小さい場合に定常解の最大値が発散しないことを示す必要がある。そのために解の陰的表示を詳細に評価する。一方、数値計算により定数解から分岐した解は安定であるがその後不安定化する。この時Hopf分岐により安定な周期解が出現する。これも２次分岐現象ととらえることができるが解析は困難である。この現象を解明する前に先行研究であるロジスティック増殖の走化性モデル方程式の弛緩現象を参考に、双安定系においても同様の現象が起こることを示す。また、その証明に必要であった仮定を縮約系モデルに適応することで取り除くことを試みる。次に分岐した解の安定性については、拡散係数が十分小さい場合は解を特異摂動法で構成することで特異極限固有値問題という枠組みで解析することが可能である。
細胞極性モデルについて、方程式の特殊性から楕円関数や完全楕円積分を用いて解を表示することで大域的な解構造を示すことができた。適当な変換によりこのモデルは非局所項を持つAllen-Cahn型の方程式に変換されることから、この方程式についても大域的解構造を示す予定である。また、定数解から分岐した解の安定性を、線形化固有値問題を解析することで示す。すなわち１次分岐した対称性のある解は安定であるが、２次分岐点を過ぎると不安定になることを示す。その証明にはSherman-Morrison formulaの応用が期待できる。また、２次分岐解の拡散係数に関する一意性の証明も残されている。これは２次分岐解がサドルノード分岐を起こさないことを保証するものであり、解の安定性とも関係がある。また、２次分岐の方向も解の安定性を示すのに重要であり、分岐点近傍での分岐方程式を詳しく解析する。
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| Causes of Carryover |
繰越し金が生じた理由は単なる予定金額の見積もりが十分でなかったことによる。
金額は少額であり、今年度の研究を進めるうえでの支障は起こらなかった。また、次年度の使用予算についても大きな変動はなく、予定通りの研究が可能である。
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