2019 Fiscal Year Research-status Report
Information geometry on deformed exponential probability distributions
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17K05341
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
和田 達明 茨城大学, 理工学研究科(工学野), 教授 (00240549)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 情報幾何 / 変形指数型分布 / エスコート分布 / 共役表現 / 統計多様体 / 一般化エントロピ / 双対平坦 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
推定、統計学、機械学習などの分野において発展してきた情報幾何は、パラメトリックな指数型確率分布族から構成された統計多様体上のアフィン微分幾何構造（Fisher計量、α接続など）に基づいた強力な枠組みであり、特に双対平坦性は情報幾何において重要な幾何構造であることが従来の研究により良く知られている。一方で、統計力学の拡張研究に関して変形指数型分布が注目されてきた。例えばκ-指数型分布やq-指数型分布が知られているが、それらの変形指数型分布に関する情報幾何構造の研究において、2重あるいは多重になって双対平坦性が現れる（多重双対平坦性）ことが、研究代表者等による以前の研究で見い出された。本研究は、その成果に基づき、一般的な変形指数型分布に対しても2重あるいは多重双対平坦構造が存在するかどうかを明らかにすることを主目的としている。
2017年度に「変形指数型分布族に対する適切なはめ込み写像（or共役表現）を具体的に求めること」ができたので、その成果を利用してエスコート期待値の特徴付けを2018年度に行った。これら成果を通じて、統計力学において重要な正準分布としてこのような変形指数型分布が出現するメカニズムを2018年度に見い出した。具体的には、速度空間における浅いポテンシャル中の熱的粒子の停留確率分布がκ-指数型分布で表されることを示したが、2019年度にその成果まとめたものが、学術誌Physica Aに掲載された。また、q-指数型分布を最適分布とするRenyiエントロピに対して、にRenyiエントロピに関する情報幾何構造についての共同研究の成果が学術誌Journal of Physics Aに掲載された。更に、メルカトル射影に関する共形変換構造を、情報幾何における基本的モデルであるガウス分布の場合に適用し、情報幾何に対する新たなアプローチを試みた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
具体的表示の分かっている変形指数型分布であるq-指数型分布族やκ-指数型分布族に対しては、２重平坦構造が存在することは当初から分かっていたが、本研究の主目的である、より一般な変形指数型分布族に対する２重平坦構造の存在を具体的に示すことができていないため。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究で得られた成果である「共役表現」と「共役表現を利用したエスコート分布の特徴付け」を基軸として、変形指数型分布に対する統計多様体上で成立する2重（or 多重）双対平坦構造について、引き続き研究を進めていく。
加えて、i)一般化エントロピに基づく統計力学や関連する統計物理からの視点; ii) 接触幾何やシンプレクティック幾何に基づく、情報幾何における勾配流方程式からの視点; iii) 変形指数型分布に関するワッサーシュタイン幾何による最適輸送などの視点から、各分野の研究者と議論を交わし、更なる研究の推進に繋げる。
これまでと同様に、本研究を通じて得られた成果について、国内の情報幾何学とその周辺に関する研究会や国際会議において発表を行い、学術論文として投稿を行っていく。
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| Causes of Carryover |
2020年3月に開催予定していた情報幾何に関する国際会議AIG202が、コロナウィルス対策のために急遽キャンセルされたため次年度使用額が生じた。2020年度において、国内旅費として使用する予定である。
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