2017 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
17K05374
|
|---|
| Research Institution | Nihon University |
|---|
Principal Investigator |
武村 一雄 日本大学, 理工学部, 准教授 (60367216)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
亀高 惟倫 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (00047218)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | ソボレフ不等式 / 最良定数 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
研究計画初年度の平成２９年度は，連続版ソボレフ不等式の最良評価（最良定数，最良関数計算）と並行して進めている離散版ソボレフ不等式の最良評価に対するデータを再生核理論の立場から整理し直した。特に，最良定数に対するデータの整理作業から最良定数の新たな表現形式を得ることができた。また，新たに得られた表現形式を用いることにより，最良定数に対する階層構造が副産物として得られた。具体的には，重み付き完全グラフ上に一般化されたグラフラプラシアンを定義することにより２種類の離散ソボレフ不等式を導出，それぞれの不等式に対応した最良評価が得られた。最良定数C_0 (n;a)とC_0 (n)，いずれの場合もグリーン行列あるいは擬グリーン行列を用いて計算された。これまで離散版ソボレフ不等式に対する最良定数は特性根を用いた調和平均の逆数という形式が主な表現形式であったが，特性方程式の展開係数による表現形式およびｎ個の特性根を用いた基本対称式による表現形式が新たに得られた。本研究成果はこれまでの最良評価，特に最良定数の表現形式を拡張させうるものである。また，こうした種々の表現形式を利用することにより，最良定数に対する階層構造という新たな結果を導き出すことができた。ある制約条件のもとで，最良定数C_0 (n;a)はnに対して単調減少となり，C_0 (n)はnに対して単調増加と逆の構造をもつことが解明された。
表現形式の拡張は，今後，対象とする有限グラフを無向グラフから有向グラフへと発展させる際にも同様の表現形式の拡張が期待され，有向グラフに対する離散ソボレフ不等式の最良評価から有用な指標が引き出せる可能性がある。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は研究計画初年度であるが，論文の投稿に若干の遅れが見られるものの，全体としてはおおむね当初の研究計画通り進んでいる。これまで求めてきたグリーン関数，グリーン行列のデータを再生核理論の立場から整理することができたため，これらの蓄積されたデータを基に離散版ソボレフ不等式の最良評価を成果として得ることができたと考えられる。本年度新たに得られた最良定数の表現式あるいは最良定数の階層構造については，今後の連続・離散版ソボレフ不等式の最良評価に対する統一的手法の解明につながる重要な手がかりであると考えている。
|
| Strategy for Future Research Activity |
本年度の研究成果を再生核理論の立場から整理したことにより，離散版ソボレフ不等式の最良定数は対象となる有限グラフの固さを表しているということが分かってきた。これは離散ソボレフ不等式が格頂点の定常状態からの変位の絶対値の２乗の最大値を，上からポテンシャルエネルギー（隣接する頂点の伸びの２乗和）の定数倍で評価する不等式だからである。すなわち，最良定数が「小さい」ことは，対象としている有限グラフが「たわみにくい」という事実を表している。次年度はこれらの結果を基に，各種多面体上の離散ソボレフ不等式の拡張として数学や工学で重要なグラフ上の離散ソボレフ不等式を導出，評価する。特に，重み付きグラフに着目し，離散ラプラシアンとそのグリーン行列，対応する離散ソボレフ不等式の最良定数を具体的に計算する。また，得られた最良定数がグラフに関するどのような指標を与えているのかを新たに得られた表現式を用いることで究明する。さらに，今後は無向グラフだけでなく有向グラフへの拡張を進め，離散版ソボレフ不等式の意味づけを行いたい。
|
| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた大きな理由は，これまでの結果の再整理に時間がかかり，執筆していた論文の投稿が当初の計画より遅くなったためである。この遅れにともない，予定されていた学会発表を見送ったために次年度使用額が生じた。しかしながら，昨年度整理された結果は今後の有向グラフへの拡張ならびに連続・離散版ソボレフ不等式の最良評価に対する統一的手法解明のための重要なデータになると考えている。次年度は本論文の結果について，関連の深い学会あるいは研究集会にて発表を行う予定である。
|
Research Products
(1 results)
