2018 Fiscal Year Research-status Report
Research on transition phenomena in nonlinear dispersive equations
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17K14219
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
眞崎 聡 大阪大学, 基礎工学研究科, 准教授 (20580492)
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| Project Period (FY) |
2017-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 非線型シュレディンガー方程式 / 散乱問題 / 遷移現象 / 非線形シュレディンガー方程式 / 最小化問題 / 質量劣臨界 / 長距離散乱 / 定在波解の安定性解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、主に３つの課題がある。それぞれの進捗について分けて述べる。
まず、長距離散乱理論の研究に関して大きな進展があった。瀬片純市氏、瓜屋航太氏と空間１、２次元においてゲージ不変な２次の非線形項をもつ非線型クラインゴルドン方程式を考察した。小さな複素数値の解に対する漸近挙動を特定した。これは、自由解にlogオーダーの位相の修正を含むいわゆるmodified scattering 型の挙動である。クラインゴルドン方程式の線形解は漸近的には二つの波の重ね合わせとなっている。これらの波の相互作用によって、位相の修正が現れる。実数値解の場合は、これらの二つの波が一種のつり合いの状態にあるが、複素数値解の場合はそうではない。そのことにより、位相の修正がより複雑になることが分かった。現在、この結果は論文にまとめ投稿中である。
遷移現象に関しては、質量劣臨界非線型シュレディンガー方程式に関連するあるモデルの遷移現象の考察を行っている。こちらは今年度中には完成に至っていないが、来年度中には完成する見込みである。この研究のために、Visan氏を招聘し議論を行った。また、２週間 Visan 氏のもとに滞在した。また、関連分野の情報収集のために、国内研究集会を２度主催した。
また、吸引的なデルタポテンシャルを持つ１次元非線形シュレディンガー方程式をMurphy 氏、瀬片氏ら考察した。その結果小さい初期値から出発した小さい解が、時刻無限大でソリトンと散乱波に分離するという、いわゆる漸近安定性を示した。現在この結果は印刷中である。また、この研究のために、Murphy 氏を招聘し、またMurphy氏のもとに２週間滞在した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の計画と比べると、主な目標としていた遷移現象における進展と、安定性理論に関する進展はおおむね予想通りである。長距離散乱の分野に関して期待以上の進展があった。
ゲージ不変な臨界非線形項をもつ非線形クラインゴルドン方程式の複素数値解の漸近挙動は、今まで知られておらず、当該分野における重要な未解決問題であった。関連する先行結果としては、わずかに１次元において解の時間減衰評価が得られていたのみであった。挑戦的な問題であったが、この問題に納得のいく解答を得ることができ、その結果として、さらに今までに見られない新しい知見も得られた。当初は予想していなかった大きな結果であるといえる。
遷移現象の解析に関しては、関連する新しいモデルの解析を行った。これまでにない新しい方向からの解析であり、今まで予想していなかった知見が期待できる。まだ完成には至っていないものの、議論は進んでいて興味深い知見も得られている。一定の成果が得られたと言える。
基底状態解からの遷移現象については、デルタポテンシャルをもつモデルに対して漸近安定性を示した。この結果自身は、他のモデルに対して知られていたものである。しかし、安定性理論においては抽象性が高い設定でしかあまり結果がなく、この結果は簡明で具体的なモデルにを扱っている点が特徴である。今後、さらに研究を進めていくにあたり、その簡明さが助けてくれることが期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究課題を基課題として国際共同研究強化（Ａ）が採択された。
来年度はVisan氏のもとに長期滞在し、Killip氏、Visan氏との共同研究を行う。質量劣臨界非線形分散型方程式群における遷移現象の理解として、尺度不変空間における安定性理論の構築と、近年進展目覚ましい可積分構造を用いた新しい保存則を利用した解析により、新しい知見を得ることを目指す。
長距離散乱については、遷移現象の解析とうまく組み合わせることのできる枠組みの構築を目指すことが重要であると考える。近年、波束を用いた長距離散乱についての技術が開発されており、その優位性について期待されている。この新しい技術の応用についての可能性については引き続き検討する。そのために、必要であれば、長期滞在を利用して米国の専門家を訪問して直接議論を行い、研究を進める。
今日では、分野が先鋭化する一方で、様々な分野の知見を組み合わせることでなされている研究が増えている。本研究でも、これまでにない新しい知見の創出を目指しているので、近接分野に限らず広い分野から情報を集めることが有効であると予想される。情報収集に関しては、研究集会を開催することにより、効果的に行えることが分かってきた。何度か研究集会を開催し、効果的に情報を収集する。
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| Causes of Carryover |
インフルエンザ罹患による出張計画の変更が生じたため、次年度使用額が生じた。当該金額は研究計画に大きくな変更を生じさせるものではない。翌年度分と併せ、適切に使用する。
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Research Products
(10 results)
