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2019 Fiscal Year Annual Research Report

Pentagram map in tropical geometry and its application to discrete Morse theory

Research Project

Project/Area Number 17K18725
Research InstitutionKyoto University

Principal Investigator

加藤 毅  京都大学, 理学研究科, 教授 (20273427)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 辻本 諭  京都大学, 情報学研究科, 准教授 (60287977)
岸本 大祐  京都大学, 理学研究科, 准教授 (60402765)
Project Period (FY) 2017-06-30 – 2020-03-31
Keywordsトロピカル幾何学 / 量子ランダムウオーク / ホモトピー型
Outline of Annual Research Achievements

これまでの研究により、箱玉系とよばれる可積分系をある種の連続系に拡張し、その力学系をPitman変換を用いて記述をした。これにより今までは状態数が有限の範囲しか扱えなかった対象が、無限個の状態をもった力学系を与えたことになる。今年度は、さらに量子化された力学系の研究を行った。これまで扱ってきた力学系では、ある状態から次の状態への移行の決定はその初期状態の近傍のみのデータで与えられる。この性質を作用素に対応させたものが量子ランダムウオークと呼ばれる。具体的にはユニタリ作用素を無限行列で表示した時に、0でない成分はたかだか対角線から一様に有界な領域に含まれるものである。スカラーの場合には、通常の有理演算と(max,+)代数の対応を与えるものがトロピカル幾何学であった。Grossら物理学者達はその量子版に相当するものとして、量子ランダムウオークと量子セルオートマトンを導入した [1]。この量子版トロピカル幾何学に関して、幾何学的な研究はこれまでほとんど行われてきていないと言って良い。そのためここではまず量子ランダムウオークを定めるユニタリ行列全体の位相的性質を調べることを行い、特にそのホモトピー型を決定した。その成果をまとめた論文を現在作成中である。今後は、そのようなユニタリ作用素を構造群にもつバンドル理論の構成を行うこと、また量子セルオートマトンでも対応する研究を行い、最終的にはトロピカル幾何学の手法を用いて両者の比較解析を行うことが目標となる。
[1] Index Theory of One Dimensional Quantum Walks and Cellular Automata, D.Gross, V.Nesme, H.Vogts and R.Werner, Commun.Math. Phys., 310, 419-454 (2012).

  • Research Products

    (4 results)

All 2020 2019 Other

All Int'l Joint Research (1 results) Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (1 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 1 results)

  • [Int'l Joint Research] サウサンプトン大学(英国)

    • Country Name
      UNITED KINGDOM
    • Counterpart Institution
      サウサンプトン大学
  • [Journal Article] DYNAMICS OF THE BOX-BALL SYSTEM WITH RANDOM INITIAL CONDITIONS VIA PITMAN’S TRANSFORMATION2020

    • Author(s)
      D.Croydon, T.Kato, M.Sasada and S.Tsujimoto
    • Journal Title

      Memoir of AMS (accepted)

      Volume: 1 Pages: 1-89

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Induced map on K theory for certain \Gamma-equivariant maps between Hilbert spaces2020

    • Author(s)
      T. Kato
    • Journal Title

      Journal of non commutative geometry (accepted)

      Volume: 1 Pages: 1-34

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Dynamics of the box-ball system with random initial conditions2019

    • Author(s)
      S. Tsujimoto
    • Organizer
      9th International Congress on Industrial and Applied Mathematics, (Valencia, Spain
    • Int'l Joint Research / Invited

URL: 

Published: 2021-01-27  

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