2018 Fiscal Year Annual Research Report
Categorification of special function
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17K18726
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
落合 啓之 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (90214163)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2019-03-31
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| Keywords | 特殊関数 / リー環 / 変数分離 / 超幾何関数 / 一般ライト関数 / 対称性 / 分数階微分 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
特殊関数論を他の分野との相互作用を意識しつつ展開することを探る挑戦的研究である。特殊関数として、Mittag-Leffler 関数やそれを拡張した一般ライト関数など、あまり馴染みのない関数の性質を調べた。特殊関数というと先行研究では超幾何関数やゼータ関数などがよく扱われているが、その範囲を超えていった場合にどのような性質が保たれ、どのような新しい現象が起こるのかをこれらの関数の族で検証していったものである。Uuganbayar氏、Dorjgotov氏(モンゴル国立大学)と共同研究では、先行研究で得られている関係式を整理するとともに新しい関数関係式を与えることができ、これらの関係式がなす代数構造として、リー代数としての解釈を許すものがあることを確認した。
特殊関数の由来として、新たに分数階の偏微分方程式の対称性の決定と、その対称性による変数分離の機構を考察した。群作用による多様体の分解だけでなく、独立変数の選択が分数階の微分の場合には、ドラスティックな変更をもたらすことに気づいたのが我々の研究の成果であり、この成果の副産物として、解の今まで知られていなかった表示を与えることに成功した。連立系に対する基礎方程式（係数関数に対する拘束条件）も新しく与えている。これは多数の未知関数を含む非線形の連立系であるが、帰納的構造を見出すことで幾つかの場合は係数関数と対称性のリー環を決定できている。
また、特殊関数の一つの典型的な現れ方として、群作用に関する軌道分解によって偏微分方程式系から常微分方程式を得るプロセスがあるが、これを圏化するスキームを考えた。特に軌道分解が直既約とならない場合に軌道分解の複雑さを記述する関数系として特殊関数は、古典的に複比の持つ不変式的な構造と、ブリューア分解の持つ離散組み合わせ的な構造を併せ持つものであり、圏化によるアプローチに優位性があるものである。
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Research Products
(7 results)
