2019 Fiscal Year Research-status Report
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17K18741
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
厚地 淳 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (00221044)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2021-03-31
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| Keywords | ネヴァンリンナ理論 / 正則写像 / 有理形関数 / 拡散過程 / 劣調和関数 / ディリクレ形式 / リューヴィル型定理 / リーマン・ロッホの定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１．一般ネヴァンリンナ理論の構築については、写像の定義域の被覆空間がユークリッド空間の領域に正則同型である場合の研究を発展させた。特に、定義域が複素ユークリッド空間の正則なグリーン領域の場合を考察した。前年度の値域が１次元の場合の研究を発展させ、値域を一般次元の複素射影空間とし、超平面を因子とするネヴァンリンナの第２主定理について研究した。正則写像のピカール型定理と、定義域の領域が Cousin II領域である場合の Cartan の第２主定理が成立することを示した。これらの結果は古典的ネヴァンリンナ理論の単位円板を定義域とする場合の拡張であり、また、従来知られていたユークリッド空間の単位球を定義域とする場合を含む。
２．新たな特性量の解析と一般ネヴァンリンナ理論の適用については、局所コンパクト距離空間上の局所的正則ディリクレ形式の理論の枠組みで理論を整備・拡張した。従来の山辺型微分不等式を弱形式の不等式に拡張し、従来の結果を含む形に拡張した。これは既存の結果を含むだけでなく、結果の精密化も含む。この研究テーマについては一定の完成を見ており、Default functions and Liouville type theorems として論文にまとめ、現在投稿中で査読レポートに基づく修正版を提出している。
3. ジェネリックな有理形関数の一般的性質の抽出については、離散構造と粗視化を軸に新しい方向の研究を行った。トロピカル幾何学の視点を導入し、無限グラフ上のリーマンーロッホの定理を与えた。これは、有限グラフにおけるBaker et al.によるリーマン・ロッホの定理の拡張であり、金子宏教授(東京理科大)との共同研究による。成果は、A Riemann-Roch theorem on a weighted infinite graph として論文にまとめ、現在査読中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
２０１８年度までの研究の進捗状況は良好であり、２０１９年度で本研究は完結するはずであったが、２０１９年９月に研究代表者が不測の病気に罹患したため、同年９月及び１０月に予定していた研究活動を中止せざるを得なかった。さらにコロナウィルスの感染拡大により、参加を予定していた研究集会や、出張を伴う研究討論が中止となった。そのため研究を完遂することができず、次年度に研究計画を延長することとした。このような状況を鑑み、研究の進捗状況はやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究テーマ 1.一般ネヴァンリンナ理論の構築については、研究実績の概要で述べた一般領域のネヴァンリンナ理論を完成させる。
研究テーマ 2.新たな特性量の解析と一般ネヴァンリンナ理論の適用については、一定の完成を見ているが、研究の中で劣調和関数の拡張定理やピカールの大定理との関連など新たな発展も見えてきているので、基盤研究につながるように整備する。
研究テーマ 3.ジェネリックな有理形関数の一般的性質の抽出. 研究実績の概要で述べた無限グラフ上のリーマン・ロッホの定理のように、離散構造とトロピカル化のアイディアと確率論的・ポテンシャル論的手法を組み合わせることにより、一定の成果を得ることができたので、この手法を用いてトロピカルネヴァンリンナ理論の定式化について基盤研究につながるように一定の方向性を提示する。
以上の研究成果をまとめるが、さらに、２０１９年度に予定していた研究成果発表および国内外の研究者との意見交換のために、２０２０年度後半に研究集会とセミナーを開催し、研究全体の総括と本研究課題の完遂を図る。
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| Causes of Carryover |
最終年度は、研究代表者が国内外の研究集会・セミナー等に参加し、多くの研究者と本研究課題の研究成果について研究連絡を行い、成果を取りまとめる計画であった。しかし、２０１９年９月及び１０月に研究代表者の不測の病気により、治療にあたる必要が生じたため、当該課題研究を中断し、予定していた出張を中止せざるを得なかった。他期間においては研究代表者の本務校の業務等で代替の出張は困難であったため、次年度に事業期間の延長および予算の次年度使用を行わざるを得なかった。２０２０年度後半に、上述の研究連絡のための出張を行い、また、本課題研究の総括と完遂のために国内外の研究者とのセミナーや研究集会を開催する計画であり、この開催補助に本研究予算を使用する予定である。
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