2021 Fiscal Year Annual Research Report
New development of geometric function theory by probabilistic methods
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17K18741
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
厚地 淳 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (00221044)
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| Project Period (FY) |
2017-06-30 – 2022-03-31
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| Keywords | ネヴァンリンナ理論 / 有理形関数 / 値分布論 / Liouville型定理 / 劣調和関数 / ディリクレ形式 / 正則写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究期間の最終年度にあたり、研究全体の総括を行った。
1. 一般ネヴァンリンナ理論の構築. 前年度までの一般領域上の有理形関数に対するネヴァンリンナ理論についての研究を総括した。本年度はその中で一部の修正と内容の追加を行った。この研究の中では古典的ネヴァンリンナ理論における「対数微分の補題」の一般化が重要になるが、前年度まで得られていたブラウン運動の汎関数による確率論的一般化よりもさらに一般な拡散過程のディリクレ過程の範疇でバークホルダー型定理を証明することにより、より一般的に成立する新しい証明を与えることができた。
2.新たな特性量の解析と一般ネヴァンリンナ理論の適用. 研究当初はデフォルト関数(default function)と呼んでいたものを「破綻関数」と命名し、この量の基礎的な研究と応用について昨年度から引き続き考察し、今後の基盤研究における研究対象としての基礎付けを行った。ブラウン運動による定義から一般の対称拡散過程に対する量として定義し、一般空間における考察に適用できるようにした。応用としてもラプラス作用素に関する劣調和関数に対するリューヴィル型定理から、より一般の対称拡散過程の生成作用素に関する劣調和関数に対する種々のリューヴィル型定理に拡張した。さらに、調和写像、正則写像のリュービル型定理への拡張を行った。
3.ジェネリックな有理形関数の一般的性質の抽出. 有理形関数の持つジェネリックな性質としてリーマン-ロッホの定理に注目した。Baker-Norineによる有限グラフ上のリーマン-ロッホの定理をある種の無限グラフに拡張した。ここでは、グラフ上のマルコフ過程の持つ大域的性質、特に、生成作用素のスペクトル的性質に注目して考察を行い、無限グラフ上でリーマン-ロッホの定理の類似が成り立つことを示した。
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