量子集合論による量子基礎論の研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 17K19970
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 小澤 正直 名古屋大学, 情報学研究科, 特任教授 (40126313)
• Project Period (FY): 2017-06-30 – 2019-03-31
• Keywords: 量子論理 / 量子集合論 / トポス / ハイティング代数 / 直観主義集合論

Outline of Annual Research Achievements

量子集合論（QST）とトポス量子論（TQT）は量子力学の数学的基礎に関する２つの長年のプロジェクトであり，概念的にも技術的にも類似点を共有している。例えば，両者は理論の一部を非古典論理を内部論理としてもつ数学的ユニバースの内部で再構成することにより量子力学を取り巻くいくつかの概念的困難を解決することを目指している。本研究では，第１に量子集合論（QST）とトポス量子論（TQT）という２つのプロジェクトの関係をより明らかにするために，また，第２にTQTとQSTの間で概念や成果を互いに転換するための一般的な方法を定義し，それによって両者の理論的表現力を著しく強化するために，統一的な枠組みを構成した。また，この方法によって矛盾許容論理との興味深い関連を展開し，それによって矛盾許容論理の最近の研究に対して重要な貢献をする新しいクラスの構造を導入した。とりわけ，そのような目的を果たすために，まず，TQTの内部論理であるスペクトル前層の閉かつ開部分対象のつくる完備ハイティング代数上に矛盾許容論理的な否定を定義して，標準量子論理から閉かつ開部分対象のつくる完備ハイティング代数への現存在化と呼ばれる埋め込みを定義する。次に，この埋め込みを拡張して，量子集合論のデデキント実数から閉かつ開部分対象の完備ハイティング代数値集合論の実数への埋め込み，及び，その共役となる閉かつ開部分対象の完備ハイティング代数値集合論の実数から量子集合論の実数への射影を定義して，その性質を詳しく調べた。これによって，量子集合論のデデキント実数と同形な量子物理量は，矛盾許容論理的否定をもつ直観主義集合論の実数の集合に埋め込まれる事が示された。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

量子集合論（QST）とトポス量子論（TQT）は量子力学の数学的基礎に関する２つの長年のプロジェクトであり，概念的にも技術的にも類似点を共有している。例えば，両者は理論の一部を非常に異なる非古典論理を内部論理としてもつ数学的ユニバースの内部で再構成することにより量子力学を取り巻くいくつかの概念的困難を解決することを目指している。にもかかわらず，両者の関係を明らかにする研究はこれまでに例がなく，本研究は，そのような目標に向けて順調に進展している。

Strategy for Future Research Activity

量子集合論が非分配的論理に基づく集合論であるにも関わらず，その実数の全体が分配的論理に基づく完備ハイティング代数値集合論の実数に埋め込まれる事は非常に興味深い現象で，今後，量子集合論における実数の非可換性が本来非可換性を持たない完備ハイティング代数値集合論の実数でどの様に表現されるかを研究する計画である。

Causes of Carryover

この分野の主要な国際会議が今年度は5-6月に集中したため、国際会議やそれに関連する海外出張計画を来年度に移行した。またそれに伴い、本年度は論文発表や研究発表の準備に専念して，予算全般を来年度に移行したため。移行した予算は，次年度，国際会議での発表、海外共同研究のための出張，また、オープンアクセスの論文発表などに使用する計画である。